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Hallo!
Ich sitze grad an einer Aufgabe und komme nicht ganz weiter:
Eine Produktionsfunktion sei gegeben durch: z = f(x,y) = [mm] \wurzel{xy}
[/mm]
Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise die Änderung der Ausbringungsmenge z, falls der Einsatzfaktor x von 100 auf 102 und y von 50 auf 51 Mengeneinheiten erhöht wird.
Ein ähnliche Aufgabe habe ich hier im Forum schonmal gefunden, aber der Beitrag hat mir leider nicht weiter geholfen.
Mein Lösungsansatz:
f(x,y) = [mm] x^{0.5} [/mm] * [mm] y^{0.5}
[/mm]
f'(x) = [mm] 0,5x^{-0.5} [/mm] * [mm] y^{0.5}
[/mm]
f'(y) = [mm] 0,5x^{0.5} [/mm] * [mm] y^{-0.5}
[/mm]
df = f'(x)*2 + f'(y)*1
= (0,5 * [mm] 2^{-0.5} [/mm] * [mm] 1^{0.5})*2 [/mm] + (0,5 * [mm] 2^{0.5} [/mm] * [mm] 1^{-0.5})*1
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Muss ich jetzt nur noch das ganze ausrechnen und dann habe ich das z?
Oder liege ich vielleicht schon totaaal verkehrt?
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen
schöne Grüße
Betonkopf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf!
> Eine Produktionsfunktion sei gegeben durch: z = f(x,y)
> = [mm]\wurzel{xy}
[/mm]
> Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials
> näherungsweise die Änderung der Ausbringungsmenge z, falls
> der Einsatzfaktor x von 100 auf 102 und y von 50 auf 51
> Mengeneinheiten erhöht wird.
>
>
> Ein ähnliche Aufgabe habe ich hier im Forum schonmal
> gefunden, aber der Beitrag hat mir leider nicht weiter
> geholfen.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> f(x,y) = [mm]x^{0.5}[/mm] * [mm]y^{0.5}
[/mm]
>
> f'(x) = [mm]0,5x^{-0.5}[/mm] * [mm]y^{0.5}
[/mm]
> f'(y) = [mm]0,5x^{0.5}[/mm] * [mm]y^{-0.5}
[/mm]
>
> df = f'(x)*2 + f'(y)*1
> = (0,5 * [mm]2^{-0.5}[/mm] * [mm]1^{0.5})*2[/mm] + (0,5 * [mm]2^{0.5}[/mm] *
> [mm]1^{-0.5})*1
[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig?
In deine Rechnung ist ja gar nicht eingeflossen, dass sich die Einsatzfaktoren ausgehend von 100 bzw. von 50 ändern.
Das würde mich an deiner Stelle etwas skeptisch machen 
Das totale Differential wird immer nur zu einer bestimmten Stelle bzw. an einem bestimmten Punkt gebildet, hier [mm] $(x_0,y_0)=(100,50)$.
[/mm]
$f(x,y) = [mm] x^{0.5}* y^{0.5}$
[/mm]
Partielle Ableitungen:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,5x_0^{-0.5}*y_0^{0.5}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0,5x_0^{0.5}*y_0^{-0.5}$
[/mm]
Am konkreten Punkt ausgewertet:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(100,50)=0,5*100^{-0.5}*50^{0.5}=0,05*\wurzel{50}\approx\ldots$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}(100,50)=0,5*100^{0.5}*50^{-0.5}=\bruch{5}{\wurzel{50}}\approx\ldots$
[/mm]
Für das totale Differential ergibt sich:
[mm] $Df(x_0,y_0)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)*dx+\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)*dy$
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] $=\bruch{\partial f}{\partial x}(100,50)*2+\bruch{\partial f}{\partial y}(100,50)*1$
[/mm]
[mm] $=0,05*\wurzel{50}*2+\bruch{5}{\wurzel{50}}*1$
[/mm]
[mm] $\approx\ldots$
[/mm]
> Muss ich jetzt nur noch das ganze ausrechnen und dann habe
> ich das z?
> Oder liege ich vielleicht schon totaaal verkehrt?
So verkehrt war es ja nicht, du mußt nur daran denken, dass das totale Differential an einer bestimmten Stelle gebildet wird.
> Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Betonkopf |
aaaaaachso - stimmt, Vielen Dank!!!
...da habe ich wohl nur von der Tapete bis zur Wand gedacht ;)
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