Totales Diff. + Linienintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 05.08.2008 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | a) Handelt es sich beim folgenden Differential um ein vollständiges?
[mm] $$i)\; \sqrt{\frac{y}{x}}\,\textrm [/mm] dx + [mm] \sqrt{\frac{x}{y}}\,\textrm [/mm] dy$$
$$ii) [mm] \sqrt{xy}\,\textrm [/mm] dx + [mm] \sqrt xy\, \textrm [/mm] dy$$
b) Bestimmen Sie, wenn möglich, die Stammfunktionen.
c) Berechnen Sie das Linienintegral
[mm] $$\oint \sqrt{xy}\,\textrm [/mm] dx + [mm] \sqrt xy\, \textrm [/mm] dy$$
von Punkt (1|1) nach (2|5) entlang des Weges:
A: von (1|1) nach (2|1)
B: von (2|1) nach (2|5) |
So, fangen wir mal mit meinen Überlegungen an:
a)
Ich weiß nicht so recht, wie das gehen soll, aber ich denke, wenn ich den ersten Teil nach dy und denn zweiten Teil nach dx ableite und dann dasselbe rauskommt, handelt es sich um eine totales Differential.
Also:
$$ [mm] \frac{\partial \sqrt{y/x}}{\parital y} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\sqrt{xy}}$$
[/mm]
$$ [mm] \frac{\partial \sqrt{x/y}}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}$$
[/mm]
=> i) ist ein totales Differential
$$ [mm] \frac{\partial\sqrt{xy}}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}$$
[/mm]
$$ [mm] \frac{\partial\sqrt{x}y}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{y}{2\sqrt x} [/mm] $$
=> ii) ist kein tot. Diff.
b) Zur Stammfunktion: Da nur i) nur ein tot. Diff. ist, kann ich auch nur davon die Stammfunktion bilden:
Der erste Term müsste ja [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] und der zweite [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$
[/mm]
Also: $f = [mm] 2\sqrt{xy}$
[/mm]
c) Hier habe ich versucht, das in Parameterdarstellung umzuwandeln und dann zu berechnen:
K1: x = t, y=0, dx = dt, dy = 0
K2: x = 1, y=t, dx = 0, dy = dt
[mm] $$\int_{K1} \sqrt{xy}\,\textrm [/mm] dx + [mm] \sqrt xy\,\textrm [/mm] dy = [mm] \int_{K1}\sqrt t\,\textrm [/mm] dt = [mm] [\frac23 t\sqrt [/mm] t]$$
[mm] $$\int_{K2} \sqrt [/mm] 2 t [mm] \textrm [/mm] dt = [mm] [\frac{t^2}{\sqrt 2}]$$
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, was ich jeweils für Grenzen einsetzen soll und ob die Parameterdarstellung überhaupt richtig ist.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß
Peter
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Hallo [mm] peter_d,
[/mm]
> a) Handelt es sich beim folgenden Differential um ein
> vollständiges?
> [mm]i)\; \sqrt{\frac{y}{x}}\,\textrm dx + \sqrt{\frac{x}{y}}\,\textrm dy[/mm]
>
> [mm]ii) \sqrt{xy}\,\textrm dx + \sqrt xy\, \textrm dy[/mm]
> b)
> Bestimmen Sie, wenn möglich, die Stammfunktionen.
> c) Berechnen Sie das Linienintegral
> [mm]\oint \sqrt{xy}\,\textrm dx + \sqrt xy\, \textrm dy[/mm]
> von
> Punkt (1|1) nach (2|5) entlang des Weges:
> A: von (1|1) nach (2|1)
> B: von (2|1) nach (2|5)
> So, fangen wir mal mit meinen Überlegungen an:
> a)
> Ich weiß nicht so recht, wie das gehen soll, aber ich
> denke, wenn ich den ersten Teil nach dy und denn zweiten
> Teil nach dx ableite und dann dasselbe rauskommt, handelt
> es sich um eine totales Differential.
> Also:
> [mm]\frac{\partial \sqrt{y/x}}{\parital y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial \sqrt{x/y}}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}[/mm]
>
> => i) ist ein totales Differential
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\frac{\partial\sqrt{xy}}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial\sqrt{x}y}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt x}[/mm]
>
> => ii) ist kein tot. Diff.
>
Ok.
> b) Zur Stammfunktion: Da nur i) nur ein tot. Diff. ist,
> kann ich auch nur davon die Stammfunktion bilden:
> Der erste Term müsste ja [mm]\frac{\partial f}{\partial x}[/mm] und
> der zweite [mm]\frac{\partial f}{\partial y}[/mm]
> Also: [mm]f = 2\sqrt{xy}[/mm]
Richtig.
>
> c) Hier habe ich versucht, das in Parameterdarstellung
> umzuwandeln und dann zu berechnen:
> K1: x = t, y=0, dx = dt, dy = 0
> K2: x = 1, y=t, dx = 0, dy = dt
Das soll doch bestimmt heißen:
[mm]K1: x = t, y=\red{1}, dx = dt, dy = 0[/mm]
[mm]K2: x = \red{2}, y=t, dx = 0, dy = dt[/mm]
> [mm]\int_{K1} \sqrt{xy}\,\textrm dx + \sqrt xy\,\textrm dy = \int_{K1}\sqrt t\,\textrm dt = [\frac23 t\sqrt t][/mm]
>
> [mm]\int_{K2} \sqrt 2 t \textrm dt = [\frac{t^2}{\sqrt 2}][/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber nicht, was ich jeweils für Grenzen
> einsetzen soll und ob die Parameterdarstellung überhaupt
> richtig ist.
Na, Du hast doch die Parameterdarstellungen bestimmt.
Aus den Parameterdarstellungen des Weges K1 bzw. K2 erhältst Du die
Werte für t, die Anfangs- und Endpunkt entsprechen. Diese Werte setzt Du dann in die entsprechenden Stammfunktionen ein.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Gruß
> Peter
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 05.08.2008 | | Autor: | peter_d |
Hallo, vielen Dank, dass du dich meinem Problem widmest :)
Zu b) habe ich noch eine Frage: Hier kam ja bei beiden Termen dasselbe raus [mm] (2\sqrt{xy}), [/mm] was passiert, wenn bspw. zwei verschiedene Terme herauskommen, muss ich diese dann addieren oder wie?
Zu c)
Aus den Parameterdarstellungen des Weges K1 bzw. K2 erhältst Du die
Werte für t, die Anfangs- und Endpunkt entsprechen. Diese Werte setzt Du dann in die entsprechenden Stammfunktionen ein.
Tut mir Leid, aber das verstehe ich leider nicht, könntest du das bitte noch mal erklären.
Danke
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, vielen Dank, dass du dich meinem Problem widmest :)
>
> Zu b) habe ich noch eine Frage: Hier kam ja bei beiden
> Termen dasselbe raus [mm](2\sqrt{xy}),[/mm] was passiert, wenn bspw.
> zwei verschiedene Terme herauskommen, muss ich diese dann
> addieren oder wie?
>
> Zu c)
> Aus den Parameterdarstellungen des Weges K1 bzw. K2
> erhältst Du die
> Werte für t, die Anfangs- und Endpunkt entsprechen. Diese
> Werte setzt Du dann in die entsprechenden Stammfunktionen
> ein.
>
> Tut mir Leid, aber das verstehe ich leider nicht, könntest
> du das bitte noch mal erklären.
Zu [mm] K_{1}: [/mm] x = t, y = 1 und t [mm] \in [/mm] [1,2]
Zu [mm] K_{2}: [/mm] x = 2, y = t und t [mm] \in [/mm] [1,5]
FRED
>
> Danke
> Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Mi 06.08.2008 | | Autor: | peter_d |
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> Zu [mm]K_{1}:[/mm] x = t, y = 1 und t [mm]\in[/mm] [1,2]
>
> Zu [mm]K_{2}:[/mm] x = 2, y = t und t [mm]\in[/mm] [1,5]
>
Ach ja, natürlich :), vielen Dank, da sieht man wieder den wald vor lauten bäumen nicht^^
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>
> FRED
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