Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 03.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben ist f(x,y)= [mm] \wurzel{|xy|}.
[/mm]
Untersuche auf totale Differenzierbarkeit. |
Hallo.
Eine Frage vorweg:
Wenn ich eine Funktion auf totale Diffbarkeit untersuchen soll. Wie gehe ich dazu am besten vor? Welche Kriterien muss ich überprüfen?
Zur Funktion f:
f ist auf [mm] IR^2 \{(0,0)} [/mm] stetig und partiell diffbar. f ist sogar auf ganz [mm] IR^2 [/mm] stetig.
Und die partiellen Ableitungen sind:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = |y|/2 * [mm] (|xy|)^{-0,5}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = |x|/2 * [mm] (|xy|)^{-0,5}
[/mm]
f ist auch in (0,0) partiell diffbar, weil
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)}{h} [/mm] = 0 = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)}{h}
[/mm]
Also ist f auf [mm] IR^2 [/mm] partiell diffbar (und stetig, s.o.)
Aber f ist nicht total diffbar in (0,0), weil die partiellen Ableitungen nicht stetig sind.
Denn für (1/n,/1/n) geht [mm] Df_x [/mm] gegen 1/2 [mm] \not= [/mm] 0
Außerhalb von (0,0) ist f auch total diffbar.
Für eure Hilfe wäre ich euch dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist f(x,y)= [mm]\wurzel{|xy|}.[/mm]
> Untersuche auf totale Differenzierbarkeit.
> Hallo.
>
> Eine Frage vorweg:
> Wenn ich eine Funktion auf totale Diffbarkeit untersuchen
> soll. Wie gehe ich dazu am besten vor? Welche Kriterien
> muss ich überprüfen?
>
> Zur Funktion f:
>
> f ist auf [mm]IR^2 \{(0,0)}[/mm] stetig und partiell diffbar. f ist
> sogar auf ganz [mm]IR^2[/mm] stetig.
>
> Und die partiellen Ableitungen sind:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) = |y|/2 *
> [mm](|xy|)^{-0,5}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) = |x|/2 *
> [mm](|xy|)^{-0,5}[/mm]
Das stimmt so nicht. Du "bügelst" über den Betrag weg, das es kracht ! Fallunterscheidung !
>
> f ist auch in (0,0) partiell diffbar, weil
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)}{h}[/mm] = 0 =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)}{h}[/mm]
Das stimmt.
>
> Also ist f auf [mm]IR^2[/mm] partiell diffbar (und stetig, s.o.)
>
> Aber f ist nicht total diffbar in (0,0), weil die
> partiellen Ableitungen nicht stetig sind.
Das ist kein Argument !!!
Zeige: [mm] \bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] strebt nicht gegen 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)
FRED
>
> Denn für (1/n,/1/n) geht [mm]Df_x[/mm] gegen 1/2 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Außerhalb von (0,0) ist f auch total diffbar.
>
> Für eure Hilfe wäre ich euch dankbar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 03.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Hallo fred,
das mit der Fallunterscheidung ist jetzt klar 
Allerdings dachte ich, dass, wenn die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, die Fkt auch total diffbar. Ist dem nicht so? Wie ist denn der Zusammenhang? Also was ich meinte: f stetig partiell diffbar -- > f total diffbar
Der Term den du mir angegeben hattest, strebt gegen 1/2. Also ist f nicht total diffbar.
Kann ich dieses Kriterium immer verwenden. Wie zeige ich am geschicktesten, dass eine Fkt diffbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> das mit der Fallunterscheidung ist jetzt klar
>
> Allerdings dachte ich, dass, wenn die partiellen
> Ableitungen existieren und stetig sind, die Fkt auch total
> diffbar. Ist dem nicht so? Wie ist denn der Zusammenhang?
> Also was ich meinte: f stetig partiell diffbar -- > f total
> diffbar
Du hast oben geschrieben:
"Aber f ist nicht total diffbar in (0,0), weil die partiellen Ableitungen nicht stetig sind."
Dieses "Argument" ist schon im eindimensionalen falsch !
Beispiel: Sei [mm] f(x):=x^2*sin(1/x) [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0
f ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar, aber f' ist in x=0 nicht stetig !
Richtig ist: f stetig partiell diffbar -- > f total diffbar
Die Umkehrung gilt aber nicht.
>
> Der Term den du mir angegeben hattest, strebt gegen 1/2.
> Also ist f nicht total diffbar.
>
>
> Kann ich dieses Kriterium immer verwenden.
Welches Kriterium ???
Sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] , f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D. Dann gilt:
f ist in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar
[mm] \gdw [/mm]
f ist in [mm] x_0 [/mm] partiell diffbar und [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)-gradf(x_0)*(x-x_0)}{||x-x_0||}=0.
[/mm]
> Wie zeige ich am
> geschicktesten, dass eine Fkt diffbar ist?
Dafür gibt es kein Kochrezept !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 05.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Was den Betrag angeht habe ich jetzt folgende Fallunterscheidung gemacht:
1. x,y>0 bzw. x,y<0:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{y}{2\wurzel{xy}}
[/mm]
Nach y geht ja analog man erhält [mm] \bruch{x}{2\wurzel{xy}}
[/mm]
2. x<0,y>0 bzw. umgekehrt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{-y}{2\wurzel{-xy}}
[/mm]
Ist das so ok?
Und xy=0 kann ja auch gelten für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0). Muss man dann noch andere Fälle untersuche als die die ich bereits gepostet hatte?
Oder folgt daraus bereits dass f überall partiell diffbar ist sig%]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:01 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Was meint ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du die Fallunterscheidung machst, um den Betrag loszuwerden, dann taugt sie nichts.
Dazu musst Du xy auf >< 0 untersuchen. Für die Fälle kannst Du die Betragsstriche entsorgen und mit der passenden Funktion weiter argumentieren. Das habe ich rollroll als Antwort geschrieben. Sobald x oder y Null werden, hast Du das Problem der Aufgabe am Wickel.
Nun kannst Du versuchen zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen für diese Fälle existiere und stetig sind. Pass auf, ob das Argument auch für den Fall x = y = 0 gilt.
Wenn das nicht gelingt, kannst Du versuchen mit der Definition der totalen Differenzierbarkeit weiter zu kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich klinke mich mal in diese Diskussion ein: weshalb muss hier nur im Nullpunkt gesondert auf partielle Diffbarkeit untersucht werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Weil Du bis auf x = 0 oder y = 0 immer die Funktion als $f(x,y) = [mm] \sqrt{xy}$ [/mm] beziehungsweise als $f(x,y) = [mm] \sqrt{-xy}$ [/mm] schreiben kannst. Für die Untersuchung der partiellen Differenzierbarkeit sind dies Verkettungen differnzierbarer Fuktionen, also wieder differenzierbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Verstehe ich das richtig, dass ich dann noch die partielle Differenzierbarkeit in (x,0) bzw (0,y) untersuchen muss? Und da diese GW existieren ist f auf ganz [mm] IR^2 [/mm] partiell diffbar?
Und für die part. Abl nach x würde ich schreiben
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{|xy|}} [/mm] * |y| * sgn(x).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
> Verstehe ich das richtig, dass ich dann noch die partielle
> Differenzierbarkeit in (x,0) bzw (0,y) untersuchen muss?
> Und da diese GW existieren ist f auf ganz [mm]IR^2[/mm] partiell
> diffbar?
Nein. Wie genau ist der Zusammenhang zwischen totaler und partieller Differenzierbarkeit? Da hat Fred schon etwas geschrieben.
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> > Verstehe ich das richtig, dass ich dann noch die partielle
> > Differenzierbarkeit in (x,0) bzw (0,y) untersuchen muss?
> > Und da diese GW existieren ist f auf ganz [mm]IR^2[/mm] partiell
> > diffbar?
> Nein. Wie genau ist der Zusammenhang zwischen totaler und
> partieller Differenzierbarkeit? Da hat Fred schon etwas
> geschrieben.
Ich habe mich doch gar nicht zur totalen Diffbarkeit geäußert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 09.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Sa 07.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich klinke mich mal in diese Diskussion ein: weshalb muss
> hier nur im Nullpunkt gesondert auf partielle Diffbarkeit
> untersucht werden?
Nicht nur in (0,0), sondern in allen Punkten [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit [mm] x_0y_0=0.
[/mm]
Berechne mal den Quotienten [mm] \bruch{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}
[/mm]
Dann solltest Du sehen:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} [/mm] existiert [mm] \gdw y_0=0.
[/mm]
Nun berechne den Quotienten [mm] \bruch{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}
[/mm]
Dann solltest Du sehen:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} [/mm] existiert [mm] \gdw x_0=0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich muss nochmal nachfragen: f ist doch im Nullpunkt part diffbar, mit ableitung 0. Dann müssten doch auch die partiellen Ableitungen in diesem Punk stetig sein. Aber f ist ja dort nicht total diffbar. Ist dies nicht ein Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 14.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Wieso folgt aus der Differenzierbarkeit die stetige Differenzierbarkeit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
f ist partiell diffbar im Nullpunkt und mit ableitung (0,0). Das hatte ich ja berechnet. Und die partielle Ableitung ist doch dann stetig im Nullpunkt. Es ist ja der punkt (0,0). Und wenn dem so wäre würde daraus die totale Differenzierbarkeit folgen. Im Gegensatz zu der Rechnung dass f dort nicht total diffbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 14.06.2014 | | Autor: | chrisno |
> f ist partiell diffbar im Nullpunkt und mit ableitung
> (0,0). Das hatte ich ja berechnet. Und die partielle
> Ableitung ist doch dann stetig im Nullpunkt.
Mit welcher Begründung?
> Es ist ja der
> punkt (0,0).
Das kann ich nicht als Beweis einer Stetigkeit akzeptieren. Nimm die Paritelle Ableitung und untersuche sie in einer Umgebung von (0,0).
> Und wenn dem so wäre würde daraus die totale
> Differenzierbarkeit folgen. Im Gegensatz zu der Rechnung
> dass f dort nicht total diffbar ist.
Dieser scheinbare Widerspruch ist darauf zurückzuführen, dass Du die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in (0,0) annimmst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
> > f ist partiell diffbar im Nullpunkt und mit ableitung
> > (0,0). Das hatte ich ja berechnet. Und die partielle
> > Ableitung ist doch dann stetig im Nullpunkt.
> Mit welcher Begründung?
> > Es ist ja der
> > punkt (0,0).
> Das kann ich nicht als Beweis einer Stetigkeit
> akzeptieren. Nimm die Paritelle Ableitung und untersuche
> sie in einer Umgebung von (0,0).
Wie mache ich das?
> > Und wenn dem so wäre würde daraus die totale
> > Differenzierbarkeit folgen. Im Gegensatz zu der Rechnung
> > dass f dort nicht total diffbar ist.
> Dieser scheinbare Widerspruch ist darauf zurückzuführen,
> dass Du die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in (0,0)
> annimmst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 So 15.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Könnte mir dazu bitte mal einen Vorschlag machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 So 15.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich müsste als nächstes die Grenzwerte selbst berechnen. Bei den Versuchen habe ich gemerkt, dass ich nach 30 Jahren zu sehr auch der Übung bin. Daher muss bei den konkreten Rechnungen jemand anders helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 15.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Na dann doch. Untersuche mal wie sich [mm] $\br{\partial f}{\partial x}$ [/mm] verhält, wenn Du Dich (0,0) mittels [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \br{\partial}{\partial x}f\left(\br{1}{n},\br{1}{n}\right)$ [/mm] annäherst. (Vielleicht liege ich daneben ... )
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