Totale Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] f(x,y) = [mm] \begin{cases} \bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0) } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0) } \end{cases}. [/mm] |
Hallo.
Der Punkt (x,y)=(0,0) macht mir Probleme. Die partielle Diffbarkeit habe ich mittels Differentialquotient geprüft. Es gilt [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] =0 und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0) [/mm] =1
Nun möchte ich noch folgenden Grenzwert untersuchen: (Wenn dieser gleich 0 ist, wäre f auch in (0,0) total diffbar)
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{f(x,y)-f(0,0)-grad(f(0,0))(x,y)}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht mehr sicher, ob das soweit passt. Es wäre super, wenn jemand drüber kucken könnte und mir ein Feedback geben würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] f(x,y) =
> [mm]\begin{cases} \bruch{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= \mbox{ (0,0) } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0) } \end{cases}.[/mm]
>
> Hallo.
> Der Punkt (x,y)=(0,0) macht mir Probleme. Die partielle
> Diffbarkeit habe ich mittels Differentialquotient geprüft.
> Es gilt [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)[/mm] =0
Das stimmt .
> und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)[/mm] =1
Das stimmt nicht ! f ist in (0,0) nicht partiell differenzierbar nach y !
Es ist [mm] \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\bruch{1}{h} [/mm] und das hat für h [mm] \to [/mm] 0 keinen Grenzwert.
f ist also in (0,0) nicht total differenzierbar.
Das kann man auch so sehen: für alle y [mm] \ne [/mm] 0 ist
f(0,y)=1.
f ist also in (0,0) noch nicht mal stetig !
FRED
>
> Nun möchte ich noch folgenden Grenzwert untersuchen: (Wenn
> dieser gleich 0 ist, wäre f auch in (0,0) total diffbar)
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{f(x,y)-f(0,0)-grad(f(0,0))(x,y)}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{\bruch{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht mehr sicher, ob das soweit passt. Es
> wäre super, wenn jemand drüber kucken könnte und mir ein
> Feedback geben würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Oh mist. Ich habe mich verschrieben. Im Zähler soll [mm] y^{3} [/mm] stehen. Stimmt dann was ich geschrieben habe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Angenommen mein Vorgehen stimmt bis hierhin. Dann wähle ich zwei Nullfolgen für x und y, nämlich x= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und y= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und betrachte folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(\bruch{1}{n})^{3}}{(\bruch{1}{n})^{2}+(\bruch{1}{n})^{2}}-(\bruch{1}{n})}{\wurzel{(\bruch{1}{n})^{2}+(\bruch{1}{n})^{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{2*\wurzel{2}}*\bruch{|n|}{n} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{2*\wurzel{2}} \not= [/mm] 0 Somit ist f im Punkt (0,0) nicht total differenzierbar.
Passt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Angenommen mein Vorgehen stimmt bis hierhin. Dann wähle
> ich zwei Nullfolgen für x und y, nämlich x= [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> und y= [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und betrachte folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(\bruch{1}{n})^{3}}{(\bruch{1}{n})^{2}+(\bruch{1}{n})^{2}}-(\bruch{1}{n})}{\wurzel{(\bruch{1}{n})^{2}+(\bruch{1}{n})^{2}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{2*\wurzel{2}}*\bruch{|n|}{n}[/mm]
> = [mm]\pm \bruch{1}{2*\wurzel{2}} \not=[/mm] 0 Somit ist f im Punkt
> (0,0) nicht total differenzierbar.
> Passt das so?
Ja, aber was soll das [mm] \pm [/mm] ??. Es ist doch n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Do 12.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Ja stimmt, das ist natürlich quatsch. Der Grenzwert ist also [mm] \bruch{-1 ???}{2*\wurzel{2}} \not= [/mm] 0.
Ich habe noch eine Verständnisfrage: Ist meine Notation bezüglich des Grenzwertes richtig oder betrachtet man eigentlich den Betrag des GW?
Und noch eine Frage: Mein erster Ansatz war, x und y in Polarkoordinaten darzustellen mit x= [mm] r*cos(\alpha) [/mm] und y= [mm] r*sin(\alpha). [/mm] Wenn ich dann den Grenzwert [mm] \limes_{r \rightarrow 0} [/mm] betrachte erhalte ich als letzten Ausdruck: [mm] \bruch{r}{|r|}*(sin^{3}(\alpha)-sin(\alpha)). [/mm] Jetzt habe ich aber hier die Abhängigkeit von [mm] \alpha, [/mm] denn wenn [mm] \alpha=0 [/mm] ist meine Gleichung unabhängig von meinem r. Taugt dieses Vorgehen dann nichts oder hab ich etwas in meiner Überlegung nicht beachtet.
Vielen Dank 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja stimmt, das ist natürlich quatsch. Der Grenzwert ist
> also [mm]\bruch{-1 ???}{2*\wurzel{2}} \not=[/mm] 0.
Mach die ??? weg !
> Ich habe noch eine Verständnisfrage: Ist meine Notation
> bezüglich des Grenzwertes richtig oder betrachtet man
> eigentlich den Betrag des GW?
> Und noch eine Frage: Mein erster Ansatz war, x und y in
> Polarkoordinaten darzustellen mit x= [mm]r*cos(\alpha)[/mm] und y=
> [mm]r*sin(\alpha).[/mm] Wenn ich dann den Grenzwert [mm]\limes_{r \rightarrow 0}[/mm]
> betrachte erhalte ich als letzten Ausdruck:
> [mm]\bruch{r}{|r|}*(sin^{3}(\alpha)-sin(\alpha)).[/mm]
Da r>0 ist, hast Du: [mm] sin^{3}(\alpha)-sin(\alpha)
[/mm]
> Jetzt habe
> ich aber hier die Abhängigkeit von [mm]\alpha,[/mm] denn wenn
> [mm]\alpha=0[/mm] ist meine Gleichung unabhängig von meinem r.
> Taugt dieses Vorgehen dann nichts oder hab ich etwas in
> meiner Überlegung nicht beachtet.
> Vielen Dank
Das Vorgehen ist O.K.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Alles klar. Wieder einmal ein herzliches Dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Oh mist. Ich habe mich verschrieben. Im Zähler soll [mm]y^{3}[/mm]
> stehen. Stimmt dann was ich geschrieben habe?
Ja
FRED
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