Totale Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Do 14.02.2008 | | Autor: | Walde |
Hallo liebes Forum,
es gilt (mal abgekürzt), dass wenn alle partiellen Ableitungen einer Funktion existieren und auch stetig sind (in einem Punkt), die Funktion total diff'bar ist (in dem Punkt).
Dies ist nur eine hinreichende Bedingung,d.h. eine Funktion kann total diff'bar sein, obwohl nicht alle ihrer part. Ableitungen stetig sind.
Mein Anliegen:
Kann mir jemand ein Beispiel für eine solche Funktion (am besten von [mm] \IR^2\to\IR^2) [/mm] geben?
LG walde
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Hallo,
> Hallo liebes Forum,
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> es gilt (mal abgekürzt), dass wenn alle partiellen
> Ableitungen einer Funktion existieren und auch stetig sind
> (in einem Punkt), die Funktion total diff'bar ist (in dem
> Punkt).
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> Dies ist nur eine hinreichende Bedingung,d.h. eine Funktion
> kann total diff'bar sein, obwohl nicht alle ihrer part.
> Ableitungen stetig sind.
>
> Mein Anliegen:
>
> Kann mir jemand ein Beispiel für eine solche Funktion (am
> besten von [mm]\IR^2\to\IR^2)[/mm] geben?
>
> LG walde
gute frage. ich wuerde nach einer antwort im eindimensionalen suchen und diese dann versuchen zu verallgemeinern:
das parade-beispiel fuer eine funktion, die diffbar aber nicht stetig diffbar ist, ist im $R$:
[mm] $f(x)=x^2\sin(\frac1x)$
[/mm]
im mehrdimensionalen kann man es dann entsprechend mal mit
[mm] $f(x)=|x|^2\sin\left(\frac{1}{|x|^2}\right)$
[/mm]
also dem rotationssymmetrischen pendant zur fkt. oben (x in [mm] $R^n$). [/mm]
Habe es jetzt nicht 100%ig zu ende gedacht, aber ich denke, diese funktion ist in 0 diffbar, waehrend die partiellen ableitungen bis in den ursprung hinein oszillieren (wie im 1-dim.)
gruss
matthias
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