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Total diff.bare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 So 07.06.2009
Autor: SEBBI001

Aufgabe
Sei f: U [mm] \to \IR^n [/mm] eine im Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] U (total) diffbare Abbildung. Dann gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 und eine Umgebung V von [mm] x_{0} [/mm] in U mit

|| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] || [mm] \le [/mm] L||x - [mm] x_{0} [/mm] ||

für alle x [mm] \in [/mm] V

Ich weiß da gar nicht wie ich anfangen soll.
Hat das irgendwas mit Lipschitz Stetigkeit zu tun (schaut irgendwie ähnlich aus)?
Vielen Dank für eure Hilfe

        
Bezug
Total diff.bare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Mo 08.06.2009
Autor: fred97

Du weißt:

          [mm] $\bruch{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)}{||x-x_0||} \to [/mm] 0 $ für $x [mm] \to x_0$ [/mm]


also gibt es eine Umgebung V von [mm] x_0 [/mm] in U mit:

            [mm] $||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)|| \le ||x-x_0||$ [/mm]   für x [mm] \in [/mm] V

Für x [mm] \in [/mm] V:

              [mm] $||f(x)-f(x_0)|| [/mm] = [mm] ||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)||$ [/mm]

              $ [mm] \le ||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)||+ ||f'(x_0)*(x-x_0)|| [/mm] $

              [mm] $\le ||x-x_0|| [/mm] + [mm] ||f'(x_0)||* ||x-x_0|| [/mm] = [mm] (1+||f'(x_0)||) ||x-x_0||$ [/mm]


FRED

Bezug
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