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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 So 17.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealring und M ein R-Modul.
Zeige, dass [mm] M/M_{tor} [/mm] keine Torsion hat. |
Hallo,
ich komme bei der oberen Aufgabe überhaupt nicht zurecht, weil ich nicht genau weiß, wie ich das zeigen soll.
Ich habe eine Frage zur Angabe. Bedeutet "keine Torsion" = torsionsfrei?
Mein Problem ist, dass ich mit dem gegebenen nicht genau weiß, wie ich anfangen soll.
Wenn R ein Hauptidealring ist, dann sind alle Ideal darin Hauptideale.
Und [mm] M_{tor} [/mm] ist so definiert { [mm] x\in [/mm] M | [mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] R - {0}: cx = 0 }
Ich bin mir auch nicht sicher, was [mm] M/M_{tor} [/mm] genau ist. Ist [mm] M/M_{tor} [/mm] die Menge aller x [mm] \in [/mm] M, wo [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] R - {0} : cx [mm] \not= [/mm] 0 ?
Wenn man dann zeigen soll, dass [mm] M/M_{tor} [/mm] keine Torsion hat, muss man dann zeigen, dass [mm] M/M_{tor} [/mm] = 0?
Denn ich habe im Bosch Buch gelesen, dass T [mm] \subset [/mm] M torsionsfrei ist, wenn T = 0.
Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann, da mir noch vieles unklar ist. Danke!
Viele Grüße,
Moe
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> Sei R ein Hauptidealring und M ein R-Modul.
> Zeige, dass [mm]M/M_{tor}[/mm] keine Torsion hat.
> Hallo,
> ich komme bei der oberen Aufgabe überhaupt nicht zurecht,
> weil ich nicht genau weiß, wie ich das zeigen soll.
> Ich habe eine Frage zur Angabe. Bedeutet "keine Torsion" =
> torsionsfrei?
Hallo,
davon würde ich doch stark ausgehen...
Zum Beweis würde ich mir ein Torsionselement aus [mm] M/M_{tor} [/mm] hernehmen und zeigen, daß es =Null ist.
Sei also [mm] m+M_{tor} [/mm] Torsionselement.
Dann gibt es ein von Null verschiedenens Element [mm] a\in [/mm] R mit
[mm] 0=M_{tor}=a(m+M_{tor})
[/mm]
Hieraus mußt Du dann Deine Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:15 Di 19.06.2007 | | Autor: | statler |
> > Sei R ein Hauptidealring und M ein R-Modul.
> > Zeige, dass [mm]M/M_{tor}[/mm] keine Torsion hat.
> > Hallo,
> > ich komme bei der oberen Aufgabe überhaupt nicht
> zurecht,
> > weil ich nicht genau weiß, wie ich das zeigen soll.
> > Ich habe eine Frage zur Angabe. Bedeutet "keine
> Torsion" =
> > torsionsfrei?
>
> Hallo,
>
> davon würde ich doch stark ausgehen...
>
> Zum Beweis würde ich mir ein Torsionselement aus [mm]M/M_{tor}[/mm]
> hernehmen und zeigen, daß es = Null ist.
>
> Sei also [mm]m+M/M_{tor}[/mm] Torsionselement.
Das Torsionselement hat doch die Form [mm]m+M_{tor}[/mm]...
> Dann gibt es ein von Null verschiedenenes Element
> [mm]a+M/M_{tor}[/mm] mit
... und dieses Element soll aus dem Ring sein: a [mm] \in [/mm] R
> [mm]0=M_{tor}=(m+M/M_{tor})(a+M/M_{tor})[/mm]
[mm]\overline{0} = M_{tor} = a*(m+M_{tor}) := am+M_{tor}[/mm]
> Hieraus mußt Du dann Deine Schlüsse ziehen.
>
> Gruß v. Angela
Gruß von Dieter
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Hallo,
ich habe gesehen, daß ich die Hälfte der Fragen zu beantworten vergessen habe. Sie sind jedoch fürs Verständnis dessen, was Du tun mußt, notwendig.
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> Ich bin mir auch nicht sicher, was [mm]M/M_{tor}[/mm] genau ist.
Das ist traurig.
[mm] M/M_{tor}:=\{x+M_{tor}| x\in M\}.
[/mm]
> Wenn man dann zeigen soll, dass [mm]M/M_{tor}[/mm] keine Torsion
> hat, muss man dann zeigen, dass [mm]M/M_{tor}[/mm] = 0?
> Denn ich habe im Bosch Buch gelesen, dass T [mm]\subset[/mm] M
> torsionsfrei ist, wenn T = 0.
Mal abgesehen davon, daß Du wohl [mm] T=\{0\} [/mm] meinst, kann ich mir kaum vorstellen, daß das da so steht.
Ich nehme mal an, daß da ungefähr so etwas steht:
Wenn M ein torsionsfreier Modul ist, besteht die Menge T, welche genau die Torsionselemente von M enthält, nur aus der 0.
Auf Deine Aufgabe bezogen hast Du also festzustellen, ob die Menge der Torsionselemente von [mm] M/M_{tor} [/mm] nur die Null enthält.
Hierfür solltest Du zunächst in Dich gehen und darüber meditieren, welches die Null in [mm] M/M_{tor} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 19.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Angela/Statler,
vielen Dank für eure Hilfe. Ich hab mal versucht, eine Lösung auszuarbeiten.
Sei r [mm] \in [/mm] R- {0} und m [mm] \in [/mm] M. Sei n [mm] \in M/M_{tor} [/mm] die Restklasse von m [mm] \in [/mm] M.
Sei nun rn = 0, also rm [mm] \in M_{tor}. [/mm] Also ist arm = 0 für ein a [mm] \in [/mm] R-{0}.
Es gilt ar [mm] \not= [/mm] 0, da R nullteilerfrei ist.
Also ist m [mm] \in M_{tor} [/mm] und damit n = 0 [mm] \in M/M_{tor} [/mm] (Nullrestklasse)
Stimmt das so?
Viele Grüße
Moe
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> Stimmt das so?
Hallo,
so wie ich es sehe, ist es richtig.
Ich finde die Darstellung an manchen Stellen nicht so gelungen, weil man als Lesender zuviel nachdenken muß. Dein Gedankengang soll sich aus dem Text erschließen.
Ich würde auch die Restklassen und Ringelemente optisch unterscheiden und geschickter benennen, z.B. hier:
> Sei [...] m [mm]\in[/mm] M. Sei n [mm]\in M/M_{tor}[/mm] die
> Restklasse von m [mm]\in[/mm] M.
Mit "sei [mm] m\in [/mm] M und sei [mm] \overline{m}:=m+M_{tor}\in M/M_{tor}" [/mm] fährt man besser.
Sei m [mm] \in [/mm] M und sei [mm] \overline{m}:=m+M_{tor} [/mm] Torsionselement von [mm] M/M_{tor}.
[/mm]
Dann gibt es ein
> r [mm]\in[/mm] R- {0}
mit
> Sei nun rn = 0
[mm] r\overline{m}=\overline{0}
[/mm]
>, also rm [mm]\in M_{tor}.[/mm]
Also gibt es ein [mm] a\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] mit
> arm = 0
0=a(rm)=(ar)m
> Es gilt ar [mm]\not=[/mm] 0, da R nullteilerfrei ist.
> Also ist m [mm]\in M_{tor}[/mm] und damit
[mm] \overline{m}=\overline{0}.
[/mm]
Also ist [mm] M/M_{tor} [/mm] torsionsfrei.
Gruß v. Angela
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