Topologisierung von Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Fr 12.05.2006 | | Autor: | APH |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] die Menge aller n-dimensionalen Untervektorräume des [mm] \IR^{n+k}.
[/mm]
a) Topologisieren Sie diese Menge, sodass [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] eine kompakte, topologische Mannigfaltigkeit wird. (Sie müssen also zuerst eine Topologie erklären und dann einen Atlas angeben.)
b) Was ist die Dimension von [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] ?
c) Zeigen Sie, dass [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) \cong G_{k}(\IR^{n+k}) [/mm] |
Hallo zusammen,
dies ist meine erste Frage, die ich in einem Matheforum je eingestellt habe. Die Frage habe ich auch nur in diesem Forum hier eingestellt, sonst nirgends.
Folgende Probleme habe ich: Bei uns an der UNI wird keine normale Topologie-Vorlesung angeboten, sondern lediglich sofort Differentialtopologie. Dementsprechend ist mein topologischer Hintergrund auch nicht der beste. Bisher kämpfte ich mich zwar mit Literatur durch, aber ich habe noch ein wenig Schwierigkeiten, mir das "topologische Denken" anzueignen. Wäre nett, wenn das bei evtl. Tipps berücksichtigt werden könnte.
Nun aber zu der Aufgabe:
Zu Teil a)
Ich soll also die Menge aller n-dimensionalen Untervektorräume des [mm] \IR^{n+k} [/mm] topologisieren... Vor meinem beschränkten Horizont verstand ich das so, dass ich einen topologischen Raum auf [mm] \IR^{n+k} [/mm] definieren soll, so dass [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] als Kollektion offener Teilmengen die drei Axiome erfüllen soll?
Oder ist meine Grundmenge [mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] und ich muss die Teilmengen erst noch definieren (Dies hätte ich vermutet, bin mir aber nicht sicher, ob das so gemeint ist. Woran erkenne ich das überhaupt, was mein Grundraum ist?)
Ich gehe nun mal von zweit genannter Vermutung aus, nämlich, dass
[mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] mein Grundraum ist. Nun ist das ganze für mich im Allgemeinfall recht schwer vorstellbar. Im [mm] \IR^{3} [/mm] ist das ja noch ganz intuitiv, nämlich je nach Wahl von n und k eben die Gerade oder Ebenen als Untervektorräume.
Könnte ich einfach eine Topologie erklären, indem ich mir die offenen Mengen wie folgt nehme?
Ich gehe vom jeweiligen Vektorraum aus und stelle mir vor, ich würde um jeden Punk in dem Vektorraum einen offenen [mm] \varepsilon-Ball [/mm] legen?
Wie gehe ich aber sicher, dass diese dadurch entstehende (sofern ich mich nicht vertan habe) offene Menge wirklich auch wieder komplett in
[mm] G_{n}(\IR^{n+k}) [/mm] liegt. Wenn ich mich nicht täusche, müsste das intuitiv doch klar sein oder mache ich da einen Denkfehler? Wie kann ich das nachweisen?
Mir würde es schon sehr helfen, wenn ich nur die Topologie hätte bzw. meine Unsicherheiten dort beseitigt werden würden, da ich dann den Rest bearbeiten könnte. Ich denke, sofern ich ich mal die Anschauung habe, dürfte ich mit der Atlantengeschichte schon irgendwo zurechtkommen. Gleiches gilt für die restlichen Aufgabenteile.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar, denn ich bin äußerst verzweifelt und verunsichert und muss das Teil sehr bald abgeben.
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Fr 12.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Uni Heidelberg vielleicht? [mm] $G_k(\mathbb{R}^{n+k})$ [/mm] ist die Grassmann-Mannigfaltigkeit.
Zur Not also mal woanders nachlesen.
Topologisieren Sie blabla so dass blabla eine Manigfaltigkeit wird
ist natürlich wenig sinnvoll. Denn wenn man etwas topologisiert wie
[mm] $G:=G_k(\mathbb{R}^{n+k})$ [/mm] (!!!) dann ist das ein topologischer Raum und keine Mf.
zunächst.
Zum Atlas kann ich sagen, dass jeder Punkt P aus G, was ja eine k-Ebene ist
eine Umgebung besitzt, die auch aus k-Ebenen besteht - skizze für k=1 oder 2 machen . Wenn man nun von jeder dieser Ebenen senkrecht auf P
projiziert und senkrecht auf die Ebene [mm] $P^\perp$ [/mm] (=(n+k-k)-Ebene),
dann sieht man (irgendwie) dass lokal $G$ homöomorph ist
zu [mm] $Hom(P,P^\perp)$ [/mm] und weil [mm] $P=\mathbb{R}^k, P^\perp =\mathbb{R}^{n+k-k}$, [/mm] ist also die Dimension von
[mm] $G_k(\mathbb{R})$ [/mm] gerade $(k) (n+k-k)=kn$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 12.05.2006 | | Autor: | APH |
Zunächst mal, vielen Dank für die Antwort. Das hat mich in meiner Vorstellung doch schon gut weiter gebracht.
Ein Problem habe ich aber noch: Die senkrechte Projektion von den Ebenen aus der Umgebung kann ich mir ja noch gut vorstellen, nur habe ich ein paar Probleme mit der senkrechten Ebene.
Auch wenn es für dich vielleicht trivial scheint, wäre ich echt total dankbar, wenn du vielleicht da noch den einen oder anderen Hinweis geben könntest, zumal ich auch im Moment nur wenig über das WE an Literatur zu Hause habe, wo ich mich näher zur Grassmann-Mannigfaltigkeit informieren könnte.
Und noch was: Auch wenn es nicht sinnvoll ist, wenn ich G zur einem topologischen Raum machen wollte, müsste ich doch mit Epsilon-Umgebungen zu den jeweiligen k-Ebenen hinkommen, oder?
Auf jeden Falls schon mal vielen Dank im Voraus. Geht mir auch hier nicht drum jemanden die Aufgabe für mich rechnen zu lassen, sondern empfinde das einfach noch als etwas schwierig, da mir die Routine noch etwas fehlt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 14.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Ich kann leider auch nicht zuviel dazu schreiben, kostet mich irrsinnig viel
Zeit. Allerdings gebe ich dir mal mit:
- Normalerweise solltest du schon $G$ topologisieren.
Erst: topologisieren, dann Mannigfaltigkeitsatlas drauf packen.
Nur G zu topologisieren gibt ja noch lange keine Mannigf. aber
(was fast nirgends steht), es würde genügen einen Atlas zu haben,
der dann eine kanonische topologie für G erzeugt, hat aber den Nachteil,
dass du nicht weisst ob das mit der Topologie übereinstimmt, die
du $G$ anfangs - zB durch einbetten in den euklidischen Raum gibts.
- Bei den senkrechten Projektionen auf die feste Ebene P projizierst du
nicht alle Ebenen senkrecht, nur solche aus einer kleinen Umgebung
der gegeben Ebene P. Du kannst zB. nicht die zu P senkrechte
Ebene auf P "ohne Informationsverlust" projizieren. Das ist ja
auch der Sinn der Mannigfaltigkeiten, lokal funktioniert alles, global
aber nicht...
Gruss topotyp
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