Topologieaufgabe: Überdeckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 Di 01.06.2004 | | Autor: | Mialein |
Das war ein Tippfehler, Entschuldigung. Ja, es muss eine offene Überdeckung sein.
Besitzt in einem topologischen Raum X jede unendliche Folge einen Häufungspunkt, dann ist jede echte offene Überdeckung von X endlich.
Ich habe damit angefangen, mir die Definitionen, der relevanten Begriffe herauszuschreiben:
X sei ein topologischer Raum, eine Familie V=(Ui)i [mm] \in [/mm] I von Teilmengen Ui von X heißt Überdeckung von X genau dann, wenn die Vereinigung aller Ui =X
Eine Überdeckung eines topologischen Raums heißt echt, wenn man keine Überdeckungsmenge weglassen kann, ohne dass die Überdeckungseigenschaft verloren geht.
x heißt Häufungspunkt einer Folge (xn)n [mm] \in \IN [/mm] in X, wenn es zu jeder Umgebung U von x unendlich viele Folgenglieder gibt, die in U liegen.
Hierzu noch eine Frage zur Definition der Umgebung: muss eine Umgebung nach Definition ein Element der Topologie sein, oder ist eine Umgebung eine beliebige Menge in dem Grundraum der Topologie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 01.06.2004 | | Autor: | puq |
Kann es sein, dass man eine offene echte Überdeckung braucht?
Denn sei [mm]X \ = \left[ -1,1 \right] \subset \IR[/mm] mit der Teilraumtopologie der gewöhnlichen Topologie auf [mm]\IR[/mm].
Dann besitzt jede unendliche Folge in X einen HP in X.
Sei [mm] (x_i)_{i \in \IN} [/mm] die Folge mit [mm] x_i \ := \ 1/i \ fuer \ x \in \IN [/mm], sei [mm] U_i \ := \left\{ x_i \right\} \ fuer \ x \in \IN [/mm], sei [mm] U_0 \ := \left\{ x \in \ X \ mit \ x \ne \ x_i \ fuer \ alle \ i \in \IN \right\} [/mm].
Dann ist [mm] \left( U_i \right)_{i \in \IN \cup \left\{ 0 \right\}} [/mm] eine unendliche echte Überdeckung von X.
>Hierzu noch eine Frage zur Definition der Umgebung: muss eine
>Umgebung nach Definition ein Element der Topologie sein, oder ist eine
>Umgebung eine beliebige Menge in dem Grundraum der Topologie?
Eine Umgebung eines Punktes x ist eine Menge, die x sowie eine x enthaltende offene Menge enthält.
Somit ist eine Umgebung nicht eine beliebige Menge, aber sie muss auch nicht zur Topologie gehören, d.h. offen sein, da abgeschlossene Mengen natürlich offene enthalten können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 01.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo puq!
Das Gegenbeispiel funktioniert leider nicht, da deine [mm] $U_i$ [/mm] keine Umgebungen sind (sie enthalten ja keine offene Menge).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 01.06.2004 | | Autor: | puq |
Nach ihrer Definition einer Überdeckung müssen sie das doch auch nicht sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Di 01.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo puq,
ja, du hast recht. Das hatte ich auch gerade gesehen. Entschuldige bitte!
Dann ist die Aussage aus meiner Sicht in jedem Fall falsch. Wenn es eine offene Überdeckung wäre, würde man ja folgern, dass bei jedem topologischen Raum aus der Folgenkompaktheit die Quasikompaktheit folgt, was einfach nicht stimmt! Dies gilt i.A. nur füt topologische Räume, die das 2. Abzählbarkeitsaxion erfüllen. Ansonsten folgt aus der Folgenkompaktheit nur die abzählbare Kompaktheit.
Hmmmh... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 01.06.2004 | | Autor: | puq |
>Wenn es eine offene Überdeckung wäre, würde man ja folgern,
>dass bei jedem topologischen Raum aus der Folgenkompaktheit
>die Quasikompaktheit folgt, was einfach nicht stimmt!
Ja, das ist richtig, das war mir nicht aufgefallen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 01.06.2004 | | Autor: | Mialein |
Ist die Folgerung korrekt, dass wenn in jeder Umgebung des Häufungspunktes unendlich viele Folgenglieder liegen, außerhalb der Umgebung endlich viele liegen? Wenn die Folgenglieder "geordnet" in der Umgebung liegen (also ab einem bestimmten n) dann müsste das doch stimmen, aber ist das bei Umgebungen immer so der Fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 01.06.2004 | | Autor: | puq |
Nein, betrachte die Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm]x_n \ := \ (- 1)^n \left( 1 \ + \bruch{1}{n} \right) [/mm] auf dem top. Raum [mm] \IR [/mm]. 1 Ist HP, aber außerhalb etwa der Umgebung ]0,2[ liegen unendlich viele Folgenglieder, denn auch -1 ist HP.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Di 01.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo puq,
> Außerhalb eines HP einer Folge liegen genau dann nur
> endlich viele Folgenglieder, wenn der HP der einzige HP,
> also Grenzwert der Folge ist.
zu dieser speziellen Äußerung (also mit dieser Richtung [mm] "$\Leftarrow$") [/mm] bin ich, obwohl es ja nur nebensächlich ist, anderer Meinung: Eine Folge kann einen einzigen Häufungspunkt haben, aber nicht konvergent sein, so dass auch unendlich viele Folgenglieder ausserhalb des einzigen HP liegen können. Beispiel:
[mm] $a_n=(1+(-1)^n)*n$
[/mm]
Diese Folge hat als Häufungspunkt 0, ist aber divergent.
VIele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Mi 02.06.2004 | | Autor: | puq |
Ja, ich habe Unsinn erzählt. Habe es entfernt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo nochmal!
> Das war ein Tippfehler, Entschuldigung. Ja, es muss eine
> offene Überdeckung sein.
Bitte editiere das nicht einfach so ohne Hinweis. Woher sollen wir denn ahnen, dass du hier plötzlich was verändert hast?
Trotzdem bleibt die zu beweisende Aussage i.A. falsch.
> Besitzt in einem topologischen Raum X jede unendliche Folge
> einen Häufungspunkt, dann ist jede echte offene Überdeckung
> von X endlich.
Gegenbeispiel
Wir betrachten den Raum [mm] $X:=\IR^{[0,1]}$, [/mm] versehen mit der Produkttopologie. Weiter betrachten wir die Menge
[mm]A = \{x \in X\,:\, \mbox{es gibt ein abzählbares}\, I \subset \IR \, \mbox{mit}\, \pi_i(x)=0 \, \mbox{für alle}\, i \in I \, \mbox{und}\, \pi_i(x)=1\, \mbox{für alle}\, i \in \IR \setminus I\}[/mm].
Wir betrachten nun $A$, mit der Spurtopologie von $X$ versehen.
Dann hat jede Folge aus $A$ einen Häufungspunkt, denn es muss für alle $i [mm] \in \IR$ $\pi_i(x_n)=0$ [/mm] für unendlich viele $n [mm] \in \IN$ [/mm] oder [mm] $\pi_i(x_n)=1$ [/mm] für unendlich viele $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelten.
Dann ist
[mm] $I_0:=\{i \in \IR\, :\, \pi_i(x_n)=0 \, \mbox{für unendlich viele}\, n \in \IN\}$
[/mm]
abzählbar, und
$x [mm] \in \IR^{[0,1]}$, $\pi_i(x)=0$ [/mm] für $i [mm] \in I_0$, $\pi_i(x)=1$ [/mm] für $i [mm] \in \IR \setminus I_0$,
[/mm]
ist ein Häufungspunkt in $A$.
Dagegen gibt es eine echte offene Überdeckung von $A$, die nicht endlich ist, nämlich:
$A= [mm] \left(\bigcup\limits_{i \in \IR} \pi_i^{-1}([0,\frac{1}{2}[) \right)\cup \pi_0^{-1}(]\frac{1}{2},1])$.
[/mm]
(Klar, denn lässt man ein [mm] $i_0$ [/mm] aus der Vereinigungsmenge weg, so definiert man $x$ durch [mm] $\pi_i(x)=0$ [/mm] für [mm] $i=i_0$, $\pi_i(x)=1$ [/mm] sonst, und lässt man die letzte Menge weg, so ist $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $\pi_i(x)=1$ [/mm] für alle $i [mm] \in \IR$ [/mm] ein geeignetes Gegenbeispiel.)
Also, was hast du falsch abgeschrieben?
Handelt es sich wirklich um beliebige topologische Räume oder nicht vielmehr nur um metrische Räume?
Gibt es einen Link zu dem Aufgabenblatt?
Wenn nein, dann schreibe die Aufgabe bitte vollständig ab, auch mit Vorbemerkungen und eventuellen Hinweisen und Tipps.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Mialein |
Hallo!
> Bitte editiere das nicht einfach so ohne Hinweis. Woher
> sollen wir denn ahnen, dass du hier plötzlich was verändert
> hast?
Ich bin neu hier, und wußte nicht, dass es nirgends vermerkt wird, dass ich die Aufgabe verändert habe. Tut mir Leid.
> Also, was hast du falsch abgeschrieben?
Die Aufgabe stimmt so, es gibt keine weiteren Einschränkungen.
Ich hatte mir auch ein Gegenbeispiel überlegt war mir aber nicht sicher, ob das richtig ist:
wähle [mm] X=\IR \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}
[/mm]
alle Folgen [mm] \{x\}_{n} [/mm] aus X haben in X mindestens einen Häufungspunkt
Wähle als Familie für die Überdeckung [mm] V=\{\{+\infty\},\{-\infty\}, M_{i}\} [/mm]
mit [mm] M_{i}=\{x\in \IR :|i-x| < \bruch{2}{3}\} [/mm] , [mm] i\in\IZ
[/mm]
Diese Überdeckung ist echt, offen und abzählbar unendlich.
Ist dieses Gegenbeispiel richtig?
Oder ist ein einzelner Punkt nicht offen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mialein!
> Ich hatte mir auch ein Gegenbeispiel überlegt war mir aber
> nicht sicher, ob das richtig ist:
> wähle [mm] X=\IR \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}
[/mm]
> alle Folgen [mm] \{x\}_{n} [/mm] aus X haben in X mindestens einen
> Häufungspunkt
Klar, da $X$ kompakt (also quasikompakt + Hausdorffsch) ist (es ist ja die Zweipunktkompaktifizierung von [mm] $\IR$) [/mm] und daher auch folgenkompakt.
> Wähle als Familie für die Überdeckung
> [mm] V=\{\{+\infty\},\{-\infty\}, M_{i}\} [/mm]
> mit [mm] M_{i}=\{x\in \IR :|i-x| < \bruch{2}{3}\} [/mm] , [mm] i\in\IZ
[/mm]
> Diese Überdeckung ist echt, offen und abzählbar
> unendlich.
>
> Ist dieses Gegenbeispiel richtig?
> Oder ist ein einzelner Punkt nicht offen?
Dein Einwand ist richtig. [mm] $\{+\infty\}$ [/mm] ist in dieser Topologie nicht offen. Die offenen Umgebungen von [mm] $+\infty$ [/mm] sind die Komplemente von Kompakta.
Das Gegenbeispiel ist also falsch. (Es lässt sich auch nicht retten, weil der Raum nun mal eben kompakt ist!)
Liebe Grüße
Stefan
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