Topologie auf X < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Di 24.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{F} [/mm] $ ein System von Teilmengen von $X$.
Man zeige: [mm] $\mathcal{T}(F) [/mm] = [mm] \{X\setminus F |F\in \mathcal{F} \} [/mm] $ ist Topologie auf $X.$ |
Ich verstehe nicht, wie ich hier zeigen soll:
- Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
-Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
-Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
Kann mir jemand einen Tipp geben? Ich habe hier Probleme die Definition der Topologie auf dieses Beispiel anzuwenden.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mathcal{F}[/mm] ein System von Teilmengen von [mm]X[/mm].
> Man zeige: [mm]\mathcal{T}(F) = \{X\setminus F |F\in \mathcal{F} \}[/mm]
> ist Topologie auf [mm]X.[/mm]
Wenn [mm]\mathcal{F}[/mm] irgend eine Teilmenge der Potenzmenge von X ist, wird das nicht funktionieren !
Beispiel: [mm] X=\{1,2\} [/mm] und [mm]\mathcal{F}= \{\{1\}\}[/mm]
Dann ist [mm] \mathcal{T}(F) [/mm] = [mm] \{\{2\}\} [/mm] sicher keine Topologie auf X.
Also, was ist noch an Eigenschaften von [mm] \mathcal{F} [/mm] gegeben ?
FRED
> Ich verstehe nicht, wie ich hier zeigen soll:
> - Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
> -Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine
> offene Menge.
> -Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine
> offene Menge.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben? Ich habe hier Probleme
> die Definition der Topologie auf dieses Beispiel
> anzuwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Di 24.04.2012 | | Autor: | clemenum |
So weit ich es aufgefasst habe, ist [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] selbst eine Menge die die Bedingungen eines topologischen Raumes erfüllt. Ergibt das Sinn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> So weit ich es aufgefasst habe, ist [mm]\mathcal{F}[/mm] selbst eine
> Menge die die Bedingungen eines topologischen Raumes
> erfüllt. Ergibt das Sinn?
nein.
Wie lautet die Aufgabe wortgetreu ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 24.04.2012 | | Autor: | clemenum |
Ich habe wortwörtlich abgeschrieben, jedoch eine "kleine" Lücke gelassen. Es ist gestanden, dass [mm] $\mathcal [/mm] {F} $ "die Bedingungen $(F1 - F3) $ aus der Vorlesung erfüllt ". Dann habe ich in meiner Mitschrift nachgesehen und keine solche F's gefunden, daher muss ich mir nun sinnvolle Bedingungen selber ausmalen. Offenbar hat der Dozent die Nummerierung verändert und schon vor Jahren die Übungen ausgedacht.
Aber, ich vermute mal folgende Bedingungen:
[mm] $\mathcal{F} [/mm] ist abg. unter Bildung bel. Durchschnitten (müsste F1 sein)
- | | - endl. Vereinigungen ( müsste F2 sein)
[mm] $\emptyset [/mm] $ und [mm] $x\in \mathcal{F}$ [/mm] immer abgeschlossen (F3)
Ich hoffe, es ergibt nun Sinn.
Frage: Reicht es aus, einfach die Komplemente zu betrachten und z.B. mit De-Morgan vorzugehen? Das dürfte nicht mehr als ein Einzeiler werden, stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe wortwörtlich abgeschrieben, jedoch eine "kleine"
> Lücke gelassen. Es ist gestanden, dass [mm]\mathcal {F}[/mm] "die
> Bedingungen [mm](F1 - F3)[/mm] aus der Vorlesung erfüllt ". Dann
> habe ich in meiner Mitschrift nachgesehen und keine solche
> F's gefunden, daher muss ich mir nun sinnvolle Bedingungen
> selber ausmalen. Offenbar hat der Dozent die Nummerierung
> verändert und schon vor Jahren die Übungen ausgedacht.
> Aber, ich vermute mal folgende Bedingungen:
> [mm]$\mathcal{F}[/mm] ist abg. unter Bildung bel. Durchschnitten
> (müsste F1 sein)
> - | | - endl.
> Vereinigungen ( müsste F2 sein)
> [mm]\emptyset[/mm] und [mm]x\in \mathcal{F}[/mm] immer abgeschlossen (F3)
>
> Ich hoffe, es ergibt nun Sinn.
>
> Frage: Reicht es aus, einfach die Komplemente zu betrachten
> und z.B. mit De-Morgan vorzugehen? Das dürfte nicht mehr
> als ein Einzeiler werden, stimmt das?
Ja, so vermute ich, denn [mm] F_1-F_3 [/mm] sind wahrscheinlich die Eigenschaften abgeschlossener Mengen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Di 24.04.2012 | | Autor: | clemenum |
Okay, danke dir, Fred! 
|
|
|
|
