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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Toeplitz Matrix pos. def.
Toeplitz Matrix pos. def. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Toeplitz Matrix pos. def.: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Di 02.12.2014
Autor: Baii

Aufgabe
Für welche [mm] {a}\in\mathbb [/mm] R ist die Matrix A= [mm] \pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & a & ... & a \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a & ... & a & a & a & 1 & a \\ a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n} [/mm]

positiv definit?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine Dreiecksmatrix herauskommt.

Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix

Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?

Grüße
Baii

        
Bezug
Toeplitz Matrix pos. def.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Für welche [mm]{a}\in\mathbb[/mm] R ist die Matrix A= [mm]\pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & a & ... & a \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a & ... & a & a & a & 1 & a \\ a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n}[/mm]
>  
> positiv definit?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur
> Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen
> Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine
> Dreiecksmatrix herauskommt.
>  
> Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine
> "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch
> eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
>  http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
>  
> Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere
> Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?

Mit obiger Formel

  

    [mm] \lambda_j [/mm] = [mm] c_0+c_{n-1} w_j [/mm] + [mm] c_{n-2}w_j^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_{1} w_j^{n-1}, \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.

haben wir, da [mm] c_0=1 [/mm] und [mm] c_j=a [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 1 ist:

[mm] \lambda_j=1+a(w_j+w_j^2+...+w_j^{n-1}) \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.

Ist j=0 so ist [mm] \lambda_0=1+(n-1)a [/mm]

Für j [mm] \ge [/mm] 1 ist (nachrechnen !, endliche geometrische Reihe)

[mm] \lambda_j=1-a [/mm]

FRED

>  
> Grüße
>  Baii


Bezug
                
Bezug
Toeplitz Matrix pos. def.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:08 Do 04.12.2014
Autor: Baii

Danke für die Hilfe!

Ich habe jetzt für [mm] j\geq1: [/mm]
[mm] \lambda_j=1+a(\omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1}) [/mm]

Mit [mm] \omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\omega_j^k=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_j^k-1=\frac{\omega_j^n-1}{\omega_j-1}-1=-1, [/mm]
denn [mm] \omega_j=exp(2\pi [/mm] ij)=1, da das Argument immer ein Vielfaches von [mm] 2\pi*i [/mm] ist.

Insgesamt habe ich dann [mm] \lambda_j=1-a [/mm] für [mm] j\geq [/mm] 1.

Das müsste so passen, oder?

Vielen Dank
Baii

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