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| Aufgabe | | Geben Sie für [mm] \mathbb{Z}_{28} [/mm] und [mm] \mathhbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{14} [/mm] alle Elemente der Ordnung 7 an. |
Ich bereite mich momentan auf eine Klausur vor und bin auch mal eine Altklausur durchgegangen.
Ich könnte jetzt natürlich alle Elemente durchgehen, aber gibt es da auch einen Trick, das schneller zu sehen?
Also mit den Sylowsätzen kann ich ja schließen, dass es bei [mm] \mathbb{Z}_{28} [/mm] 6 Elemente geben muss, richtig?
Bei dem zweiten Beispiel auch?
Aber wie bekomme ich geschickt die Elemente, oder ist es wirklich nur einzelnd durchgehen?
LG Florian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 07.08.2017 | | Autor: | hippias |
> Geben Sie für [mm]\mathbb{Z}_{28}[/mm] und [mm]\mathhbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{14}[/mm]
> alle Elemente der Ordnung 7 an.
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> Ich bereite mich momentan auf eine Klausur vor und bin auch
> mal eine Altklausur durchgegangen.
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> Ich könnte jetzt natürlich alle Elemente durchgehen, aber
> gibt es da auch einen Trick, das schneller zu sehen?
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> Also mit den Sylowsätzen kann ich ja schließen, dass es
> bei [mm]\mathbb{Z}_{28}[/mm] 6 Elemente geben muss, richtig?
Ja, aber das solltest Du etwas ausführlicher erklären, denn der Sylowsatz allein reicht zur Begründung nicht aus.
> Bei dem zweiten Beispiel auch?
Ja.
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> Aber wie bekomme ich geschickt die Elemente, oder ist es
> wirklich nur einzelnd durchgehen?
[mm] $\IZ_{28}$ [/mm] ist bekanntlich zyklisch mit Erzeuger [mm] $[1]_{28}$. [/mm] Welche Ordnung hat dann [mm] $4\cdot[1]_{28}$?
[/mm]
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> LG Florian
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke erstmal :)
Natürlich werde ich das ausführlicher machen :)
Ähm, die Ordnung wäre dann doch 7 oder?
LG Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Di 08.08.2017 | | Autor: | hippias |
Richtig, die Ordnung ist $7$. Damit ist [mm] $\langle 4\cdot [1]_{28}\rangle$ [/mm] eine Untergruppe der Ordnung $7$, die auch noch zyklisch ist. Damit kannst Du alles, was Du über zyklische Gruppen weisst, anwenden, um darin weitere Elemente der Ordnung $7$ zu finden; bzw. der Satz von Lagrange hilft Dir auch bei der Suche.
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