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Tiefpunkt einer e-Funktion: Wie ist es richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 So 25.02.2007
Autor: denisjestmikusz

Aufgabe
Zeigen Sie, dass der Graph mit f(x)= [mm] x^{2} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] einen Tiefpunkt besitzt.

Also in der Schule wurde uns mitgeteilt, dass x=0 sein muss, was ja auch bei einsetzen korrekt ist.
Rechnung:
[mm] e^{x} [/mm] * (2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0   | (2x+ [mm] x^{2} [/mm] =0
[mm] e^{x} [/mm] = 0
x = ln(0)
x = 0  (das haben wir im Unterricht gemacht!!!
Aber [mm] e^{0} [/mm] ist ja nicht gleich 0! Man bekommt doch bei [mm] e^{x} [/mm] nie null raus, oder? Inwiefern ist das Ergebnis dann richtig?

Ich habe folgendes probiert:

[mm] e^{x} [/mm] * (2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0   | [mm] :e^{x} [/mm]
(2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0
x = -2

nur das Ergebnis stimmt ja auch nich, da ja x=-2 kein Extrema hat!

Kann mir jemand aus dem Wirr-Warr helfen? Danke

Gruss Denis

        
Bezug
Tiefpunkt einer e-Funktion: Lösungen "verschlampt"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 So 25.02.2007
Autor: Loddar

Hallo Denis!


Um eine Minimum (oder auch ein Maximum) nachzuweisen, musst Du die Nullstellen der 1. Ableitung $f'(x) \ = \ ... \ = \ 0$ berechnen (notwendiges Kriterium).

Zudem sollte an dieser Stelle die 2. Ableitung größer als Null sein (hinreichendes Kriterium).


>  [mm]e^{x}[/mm] * (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0   | (2x+ [mm]x^{2}[/mm] =0

Du darfst hier nicht einfach durch die Klammer teilen. Schließlich könnte diese Klammer auch den Wert Null annehmen und Du "verschlust" weitere Lösungskandidaten.

Wende hier das Prinzip des Nullproduktes an:

[mm] $e^x [/mm] \ = \ 0$     oder     [mm] $x^2+2x [/mm] \ = \ 0$

usw.


> [mm]e^{x}[/mm] = 0
> x = ln(0)
> x = 0  (das haben wir im Unterricht gemacht!!!

Das ist ja gruselig!!!! Das ist FALSCH!!! Schließlich ist der [mm] $\ln(...)$ [/mm] nur für positive Argumente definiert.


>  Aber [mm]e^{0}[/mm] ist ja nicht gleich 0! Man bekommt doch bei
> [mm]e^{x}[/mm] nie null raus, oder?

So ist es richtig!


> Ich habe folgendes probiert:
>  
> [mm]e^{x}[/mm] * (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0   | [mm]:e^{x}[/mm]
>  (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0
>  x = -2
>  
> nur das Ergebnis stimmt ja auch nich, da ja x=-2 kein Extrema hat!

Doch, dort liegt ein Maximum (also ein  Hochpunkt vor).

Du hast bei [mm] $x^2+2x [/mm] \ = \ 0$ eine Nullstelle unterschlagen. Klammere doch mal zunächst $x_$ aus ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Tiefpunkt einer e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 So 25.02.2007
Autor: denisjestmikusz

Danke Loddar,

wenn ich x ausklammerevereinfache ich mir natuerlich die Sache
x(x+2) = 0
x = 0  v  x+2 = 0
                  x = -2

Aha, da habe ich ja mein x=0 (Tiefpunkt) und wenn ich x = -2 bei f``(x) einsetze habe ich einen Hochpunkt.

Ich danke Dir!

Schoenen Sonntag noch!

Bezug
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