Theorema Egregium < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Di 14.07.2009 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Das Theorema Egregium besagt:
Die Gauß-Krümmung ist invariant unter lokalen Isometrien! |
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis zu obigem Satz:
Die Beweisidee dahinter ist folgende: man zeigt, dass die Gauß Krümmung in Termen der 1. Fundamentalform und deren Ableitungen dargestellt werden kann. Beweisschluss ist nun: Da die 1. Fundamentalform unter lokalen Isometrien erhalten bleibt, ist die Gauß-Krümmung also auch invariant unter lokalen Isometrien. Gerade diesen Schritt verstehe ich nicht:
In der Vorlesung hatten wir gesagt, wenn man zwei reguläre Flächen mit denselben Einträgen in der Fundamentalmatrix hat, so ist ist die Abbildung zwischen den zwei Flächen eine lokale Isometrie. Und: hat man eine Abbildung zwischen 2 Flächen,die eine Isometrie ist, so haben die beiden Flächen dieselben Einträge in der Fundamentalmatrix. Gilt dieser Satz dann auch für LOKALE Isometrien??Denn das müsste ja laut obigem Beweisschluss gerade der Fall sein, oder???
Danke schonmal für eure Hilfe!
Mathec
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 14.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Das Theorema Egregium besagt:
> Die Gauß-Krümmung ist invariant unter lokalen
> Isometrien!
> Hallo!
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis zu obigem Satz:
> Die Beweisidee dahinter ist folgende: man zeigt, dass die
> Gauß Krümmung in Termen der 1. Fundamentalform und deren
> Ableitungen dargestellt werden kann. Beweisschluss ist nun:
> Da die 1. Fundamentalform unter lokalen Isometrien erhalten
> bleibt, ist die Gauß-Krümmung also auch invariant unter
> lokalen Isometrien. Gerade diesen Schritt verstehe ich
> nicht:
> In der Vorlesung hatten wir gesagt, wenn man zwei
> reguläre Flächen mit denselben Einträgen in der
> Fundamentalmatrix hat, so ist ist die Abbildung zwischen
> den zwei Flächen eine lokale Isometrie.
Welche Abbildung zwischen den beiden Flächen?
Egal... tut hier nix zur Sache bzw. zur Beantwortung der Frage.
> Und: hat man eine
> Abbildung zwischen 2 Flächen,die eine Isometrie ist, so
> haben die beiden Flächen dieselben Einträge in der
> Fundamentalmatrix. Gilt dieser Satz dann auch für LOKALE
> Isometrien??Denn das müsste ja laut obigem Beweisschluss
> gerade der Fall sein, oder???
Da die Krümmung eine lokale Größe ist, reichen auch lokale Isometrien aus.
Dasselbe gilt für die Fundamentalmatrix. Wenn du mit der was berechnen willst, dann reicht es doch auch aus, wenn du sie lokal kennst (sogar nur ein dem einen Punkt, wo du sie brauchst).
Ob der Satz auch für lokale Isometrien gilt, das kannst du selbst ganz einfach nachprüfen. Gehe einfach den Beweis durch und schau, ob er auch funktionieren würde, wenn du "nur" eine lokale Isometrie hast.
> Danke schonmal für eure Hilfe!
> Mathec
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Ok, erstmal danke für deine Antwort!
Nochmal zum Verständnis des Satzes: Der Satz sagt aus, dass ich die Gauß Krümmung in einer Umgebung eines Punktes bestimme, und dass dann die Gauß Krümmung in der Umgebung des Bild(!)punktes unter der Isometrie gleich ist. Richtig?
Nochmal danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
Jup, du hast einen Punkt p in der einen Fläche und den Bildpunkt q in der anderen Fläche.
Um die Gauß-Krümmung im Punkt p zu berechnen, musst du wissen, wie die Fläche in einer Umgebung um p aussieht.
Ebenso musst du für die Berechnung der Gauß-Krümmung im Punkt q nur wissen, wie die Fläche in einer Umgebung von q aussieht.
Deswegen reicht eine lokale Isometrie auch aus, da das ja gerade die Definition von lokaler Isometrie ist, dass es Umgebungen um den Punkt und den Bildpunkt gibt, so dass du auf diesen Umgebungen eine "richtige" Isometrie hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Super, habs verstanden
Vielen, vielen Dank!!!
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