Textaufgabe ü. Wachstum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Platon |
Hi!
Ich knobele gerade an einer Textaufgabe:
Fig. 1 zeigt den Beginn einer Folge geometrischer Figuren (da Ihr das Bild nicht habt, versuche ich es zu beschreiben: Beim 1. Bild ist nur eine Strecke zu sehen. Beim zweiten Bild ist diese Strecke gedrittelt worden, wobei ihr ein gleichseitiges Dreieck aufgesetzt worden ist. Demnach hat die Strecke nun 4 Seiten (Sie ist also 1/3 länger als die Ursprungsstrecke)). Das Konstruktionsprinzip ist bei jedem Schritt dasselbe: Jede Strecke wird gedrittelt. Über dem mittleren Stück wird ein gleichseitiges Dreieck "aufgesetzt".
a) Offensichtlich wird die Länge des Streckenzuges von Schritt zu Schritt größer. Um welche Art von Wachstum handelt es sich?
Antwort: Es müsste sich um exponentielles Wachstum handeln!
b) Berechne die Länge des Streckenzuges nach 4 (40; 400; 100.000) Schritten.
Antwort: Hier hänge ich fest: Ich habe allerdings herausgefunden, dass es nach dem ersten Schritt 4 Strecken sein sollten (wie man bereits auf dem Bild sehen kann), nach dem 2. Schritt sind es 16 Strecken, nach dem 3. sind es demnach 256 Strecken usw.
Nur wie kann ich nun die Länge des Streckenzuges berechnen?
Bin für jeden Tipp, der gegeben werden kann, dankbar!
Beste Grüße
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Hallo!
Deine Aufgabe kenne ich nur zu gut!!! Ich durfte mal die ersten fünf Veränderung eines Dreiecks in dieser Form erstellen... Eine schreckliche Arbeit per Hand...
Aber zur Sache:
Du hast erst eine Länge L = x +1/3 x,
dann im nächsten Schritt L= x + 1/3x + 4 * (1/9x)
Danach ergibt es L= x + 1/3x + 4*(1/9x) + 16*(1/27x)
Diese Schritte kann vereinfachen:
L = x + (4^(n-1) * [mm] (1/(3^n)))^n-1
[/mm]
Dabei gilt, dass n die Anzahl der Durchgänge ist beginnend bei n=1 und x die Länge des Ausgangsstrichs.
Zu dieser Formel kommst du, in dem du dir die obigen Schritte genau anschaust: Es werden Summanden mit denselben Eigenschaften addiert, z.B. erst *4, dann *16 etc.
Diese wiederholen sich n-Mal => hoch n !!!
Noch ein kleiner Tipp:
Pass bei deiner Rechnung auf, sobald sich irgendwo hoch Null ergibt, wird die gesamte Potenz gleich 1!!!
Viel Spaß noch!
Gruß Isi
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Hallo!
Deine Aufgabe kenne ich nur zu gut!!! Ich durfte mal die ersten fünf Veränderung eines Dreiecks in dieser Form erstellen... Eine schreckliche Arbeit per Hand...
Aber zur Sache:
Du hast erst eine Länge L = x +1/3 x,
dann im nächsten Schritt L= x + 1/3x + 4 * (1/9x)
Danach ergibt es L= x + 1/3x + 4*(1/9x) + 16*(1/27x)
Diese Schritte kann vereinfachen:
L = x + (4^(n-1) * ( [mm] 1/(3^n) [/mm] ) [mm] )^n-1
[/mm]
Dabei gilt, dass n die Anzahl der Durchgänge ist beginnend bei n=1 und x die Länge des Ausgangsstrichs.
Zu dieser Formel kommst du, in dem du dir die obigen Schritte genau anschaust: Es werden Summanden mit denselben Eigenschaften addiert, z.B. erst *4, dann *16 etc.
Diese wiederholen sich n-Mal => hoch n !!!
Noch ein kleiner Tipp:
Pass bei deiner Rechnung auf, sobald sich irgendwo hoch Null ergibt, wird die gesamte Potenz gleich 1!!!
Viel Spaß noch!
Gruß Isi
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Hallo!
Deine Aufgabe kenne ich nur zu gut!!! Ich durfte mal die ersten fünf Veränderung eines Dreiecks in dieser Form erstellen... Eine schreckliche Arbeit per Hand...
Aber zur Sache:
Du hast erst eine Länge L = x +1/3 x,
dann im nächsten Schritt L= x + 1/3x + 4 * (1/9x)
Danach ergibt es L= x + 1/3x + 4*(1/9x) + 16*(1/27x)
Diese Schritte kann vereinfachen:
L = x + (4^(n-1) * ( 1/ [mm] (3^n) [/mm] ) ) ^n-1
Dabei gilt, dass n die Anzahl der Durchgänge ist beginnend bei n=1 und x die Länge des Ausgangsstrichs.
Zu dieser Formel kommst du, in dem du dir die obigen Schritte genau anschaust: Es werden Summanden mit denselben Eigenschaften addiert, z.B. erst *4, dann *16 etc.
Diese wiederholen sich n-Mal => hoch n !!!
Noch ein kleiner Tipp:
Pass bei deiner Rechnung auf, sobald sich irgendwo hoch Null ergibt, wird die gesamte Potenz gleich 1!!!
Viel Spaß noch!
Gruß Isi
Sorry, ich hoffe, man kann die Formel oben lesen!!!
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