Tetraedereckenberechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 23.01.2005 | | Autor: | Stoffi |
Ich habe die Schwerpunkte der Dreiecke, die ein Tetraeder begrenzen gegeben:
Sd (3/3/0), Sa (3/3/6), Sb (-1/3/6) und Sc (4/0/6).
Wie komme ich auf die Ecken A,B,C,D des Tetraeders?
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 23.01.2005 | | Autor: | dominik |
1. Der Schwerpunkt teilt die Schwerlinien im Verhältnis 2:1
2. Im Dreieck ABC hat der Schwerpunkt S den folgenden Ortsvektor:
[mm] \vec{s}=\bruch{3}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \gdw \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=3* \vec{s}
[/mm]
3. Das Tetraeder wird durch vier Dreiecke begrenzt, wovon jedes einen Schwerpunkt mit bekannten Koordinaten hat.
Somit hast Du vier Gleichungen, die folgendermassen aussehen:
[mm](1)\quad \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}=3* \vektor{x_{1} \\ y_{1}\\ z_{1}}[/mm]
[mm](2)\quad \vec{a}+ \vec{e}+ \vec{f}=3* \vektor{x_{2} \\ y_{2}\\ z_{2}}[/mm]
[mm](3)\quad \vec{b}+ \vec{d}+ \vec{e}=3* \vektor{x_{3} \\ y_{3}\\ z_{3}}[/mm]
[mm](4)\quad \vec{c}+ \vec{d}+ \vec{f}=3* \vektor{x_{4} \\ y_{4}\\ z_{4}}[/mm]
[mm]a, b, c, d, e, f[/mm] sind die sechs Seiten des Tetraeders,
[mm] \vektor{x\\ y\\ z} [/mm] auf der rechten Seiten entspricht dem Schwerpunkt des jeweiligen Dreiecks.
4. Nun kann man kombinieren:
[mm](1)-(2)\quad \vec{b}+ \vec{c}- \vec{e}- \vec{f}= ... (5)[/mm]
[mm](3)-(4)\quad \vec{b}- \vec{c}+ \vec{e}- \vec{f}= ... (6)[/mm]
[mm](5)+(6)\quad 2\vec{b}-2 \vec{f}= ...[/mm]
Vielleicht hilft Dir dies ein bisschen weiter.
Viele grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 23.01.2005 | | Autor: | Stoffi |
Meiner Meinung nach geht dies nicht, da das Lösungssystem 6 unbekannte Geraden enthält, man aber nur 4 Gleichungen aufstellt.
Zu dieser Aufgabe findet man nur über den allgemeinen Schwerpunkt.
Ich habe noch eine Rückfrage: Ist der Schwerpunkt des Tetraeders nur über die Ortsvektoren oder auch über die Seiten definiert?
Bitte um Feedback
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Hallo, Stoffi,
dominik's Ansatz hat schon etwas für sich,
nur sind es nicht die "Seiten" sondern die Ortsvektoren der Eckpunkt
aus
denen sich die Ortsvektoren der Flächenschwerpunkte ergeben .
die ich jetz einfach A,B,C,D nenne
dann
gelten
$1A + 1B + 1C + 0D = [mm] 3S_A$
[/mm]
$1A + 1B + 0C + 1D = [mm] 3S_B$
[/mm]
$1A + 0B + 1C + 1D = [mm] 3S_C$
[/mm]
$0A + 1B + 1C + 1D = [mm] 3S_D$
[/mm]
im PDF die halbe Lösung ( diagonalisiert ) in Matrixform, ich hoffe ich hab richtig gerechnet
den
Rest schaffts Du hoffentlich selbst ( ist ja schließlich Deine Aufgabe :) )
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:56 So 23.01.2005 | | Autor: | Stoffi |
Habe den Schwerpunkt des Tetraeders der Seitenhalbierenden genommen und hab ihn mit dem allgemeinen Schwerpunkt gleichgesetzt.
Damit kann ich mit den Regeln für das reguläre Tetraeder die Punkte bekommen: Ich habe A (0/0/0), B(10/6/12),C(5/9/12) und D(0/0/18),
bitte aber um eigene Lösungen.
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