Tetraeder Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | berechnen sie das [mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{z dx}{dy}{dz} [/mm] für den tetraeder mit den eckpunkten A=(0,0,0=, B=(1,0,0), C=(0,2,1), D=(0,0,1). |
hi ihr mathegenies ;)
erstmal vorweg: in der aufgabe steht unter dem dreifachintegral ein K. ich weiss nicht genau warum, denke das es nur verdeutlichen soll das es hier um eine volumenberechung geht richtig?
aber eigentlich gehts mir darum den inhalt eines tetraeder zu parametrisieren.
ein dreieck kann ich parametrisieren und denke das es beim tetraeder ähnlich geht, halt nur mit 3 vektoren.
wobei ich nicht weiss, wie ich an den dritten vektor komme.
bei dreicken wars immer so: gehe von a nach b (1. parameter) und dann von jedem punkt "hoch" zu punkt c (2. Parameter) aber wie komme ich jetzt in den raum rein? und vorallem: wie muss ich dann die grenzen wählen? der abstand von der schon parametrisieren fläche hängt ja nicht nur von einem parameter ab, sondern im grunde von 2.
wäre nett wenn ihr es mir mit einem bsp erläutern könntet, im script steht nur ein text dazu, aber kein anschauliches beispiel und googlen hat mir auch nix dolles geliefert.
oder gehts auch ganz anders? kann ich auch darauf kommen wenn ich die 3 oberflächen schon habe?
schon mal danke für eure antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du das Oberflächenintegral über eine Seitenfläche ausrechnen kannst (da du ja sagst, dass du eine Parametrisierung dafür kennst), dann benutze doch den Integralsatz von Gauss.
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> berechnen sie das
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{z dx}{dy}{dz}[/mm]
> für den tetraeder mit den eckpunkten A=(0,0,0=, B=(1,0,0),
> C=(0,2,1), D=(0,0,1).
> hi ihr mathegenies ;)
>
> erstmal vorweg: in der aufgabe steht unter dem
> dreifachintegral ein K. ich weiss nicht genau warum, denke
> das es nur verdeutlichen soll das es hier um eine
> volumenberechung geht richtig?
>
> aber eigentlich gehts mir darum den inhalt eines tetraeder
> zu parametrisieren.
> ein dreieck kann ich parametrisieren und denke das es beim
> tetraeder ähnlich geht, halt nur mit 3 vektoren.
>
> wobei ich nicht weiss, wie ich an den dritten vektor
> komme.
> bei dreicken wars immer so: gehe von a nach b (1.
> parameter) und dann von jedem punkt "hoch" zu punkt c (2.
> Parameter) aber wie komme ich jetzt in den raum rein? und
> vorallem: wie muss ich dann die grenzen wählen? der abstand
> von der schon parametrisieren fläche hängt ja nicht nur von
> einem parameter ab, sondern im grunde von 2.
>
> wäre nett wenn ihr es mir mit einem bsp erläutern könntet,
> im script steht nur ein text dazu, aber kein anschauliches
> beispiel und googlen hat mir auch nix dolles geliefert.
Der Ortsvektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] eines Punktes eines $n$-dimensionalen Simplexes (1dim: Strecke, 2dim: Dreieck, 3dim: Tetraeder, ...) lässt sich in der Form [mm] $\vec{x}=\vec{p}_0+\sum_{k=1}^n t_k \vec{r}_k$ [/mm] schreiben, wobei [mm] $\vec{p}_0$ [/mm] der Ortsvektor eines Eckpunktes, [mm] $\vec{r}_k$ [/mm] die von diesem Punkt ausgehenden Kantenvektoren zu den anderen Eckpunkten und [mm] $t_k\geq [/mm] 0$ Parameter sind, die der zusätzlichen Bedingung [mm] $\sum_{k=1}^n t_k\leq [/mm] 1$ genügen müssen.
Daraus erhält man sogleich eine Parametertransformation von den [mm] $t_k$ [/mm] zu kartesischen Koordinaten.
In Deinem Fall lässt sich der Ortsvektor eines Punktes des Tetraeders in der Form [mm] $\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{AB}+s\vec{AC}+t\vec{AD}$ [/mm] schreiben, bzw. in Koordinaten,
[mm]\pmat{x\\y\\z}=r\pmat{1\\0\\0}+s\pmat{0\\2\\1}+t\pmat{0\\0\\1[/mm]
Dies ist also eine Parametertransformation [mm] $(r,s,t)\mapsto [/mm] (x,y,z)$ mit $x=r, y=2s,z=s+t$. Die Grenzen des auf $r,s,t$-Koordinaten transformierten Integrals sind dann wegen [mm] $r,s,t\geq [/mm] 0$ und [mm] $r+s+t\leq [/mm] 1$ leicht zu finden:
[mm]\int\limits_0^1\quad\int\limits_0^{1-r}\quad\int\limits_0^{1-r-s}\quad\ldots \quad dt\; ds\; dr[/mm]
Nun musst Du nur noch den Integranden $z$ transformieren (easy) und das Volumenelement mit dem Betrag der Funktionaldeterminante dieser Transformation multiplizieren (auch easy, weil diese Koordinatentransformation ja linear ist).
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