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| Aufgabe | Betrachte folgendes Zufallsexperiment. Zunächst wird ein Tetraeder, der auf je einer Seite mit den Zahlen 1 und 2 und auf den anderen beiden Seiten mit der Zahl 3 beschriftet ist, geworfen. Fällt hierbei k, so werden anschließend k Münzen geworfen. X bezeichne die Anzahl der gefallenen Köpfe.
a) Bestimme die Zähldichte von X
b) Wie viele Köpfe fallen im Schnitt? |
Hallo Leute,
ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier die Zähldichte bestimmen soll ... :)
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Hallo,
> Betrachte folgendes Zufallsexperiment. Zunächst wird ein
> Tetraeder, der auf je einer Seite mit den Zahlen 1 und 2
> und auf den anderen beiden Seiten mit der Zahl 3
> beschriftet ist, geworfen. Fällt hierbei k, so werden
> anschließend k Münzen geworfen. X bezeichne die Anzahl
> der gefallenen Köpfe.
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> a) Bestimme die Zähldichte von X
> b) Wie viele Köpfe fallen im Schnitt?
> Hallo Leute,
> ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand sagen könnte wie
> ich hier die Zähldichte bestimmen soll ... :)
Ausrechnen. So viele Szenarien gibt es ja nicht. Auf der anderen Seite hat X den Wertevorrat [mm] \{0;1;2;3\}, [/mm] da kann es doch nicht so schwer sein, für jeden der vier Werte die möglichen Szenarien durchzugehen und deren Wahrscheinlichkeiten zu addieren?
Schauen wir uns X=0 an. Da darf natürlich kein einziges Mal Kopf fallen. Je nachdem, was das Tetraerder zeigt haben wir eine unterschiedliche Anzahl an Münzwürfen. Da wir das ganze als ein zweistufiges Experiment betrachten können (1: Tetraederwurf; 2: k Münzwürfe), werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen multipliziert und man erhält
[mm] P(X=0)=\underbrace{\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}}_{\mbox{Tetraeder zeigt 1}}+\underbrace{\bruch{1}{4}*\bruch{1}{4}}_{\mbox{Tetraeder zeigt 2}}+\underbrace{\bruch{1}{2}*\bruch{1}{8}}_{\mbox{Tetraeder zeigt 3}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Das musst du jetzt für die drei anderen Fälle auf die gleiche Art und Weise berechnen. Während der Fall X=1 noch ähnlich 'aufwändig' ist, wird es nach oben zu immer einfacher!
Für b) ist dann der Erwartungswert zu berechnen, das ist dir aber klar, oder?
Gruß, Diophant
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Danke für die Hilfe!
Dann ist
P(X=0) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
P(X=1) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{2}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{16} [/mm] = [mm] \bruch{7}{16}
[/mm]
P(X=2) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
P(X=3) = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
die Zähldichte von X ?
Und der Erwartungswert ist: [mm] \bruch{7}{16} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{16} [/mm] = 1,125
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Hallo,
obiges ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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