Test bei Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 23.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_1, [/mm] . . . , [mm] X_n) [/mm] eine Zufallsstichprobe mit [mm] X_i [/mm] ~ Bin(1, p), p [mm] \in [/mm] [0, 1] und n = 10. Weiter sei [mm] \Theta_0 [/mm] = [0, 0.6] und [mm] \Theta_1 [/mm] = (0.6,1]. Für einen Test von [mm] H_0 [/mm] : p ∈ [mm] \Theta_0 [/mm] gegen [mm] H_1 [/mm] : p ∈ [mm] \Theta_1 [/mm] soll die Testvorschrift [mm] \phi(X_1,...,X_n) =1_{(0.7,1]}( \overline{X_n}) [/mm] verwendet werden.
(a) Wieviele Einsen darf eine Realisierung der Stichprobe höchstens enthalten, damit [mm] H_0 [/mm] nicht verworfen wird?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art, wenn p = 0.4 ist?
(c) Für welches p [mm] \in \Theta_0 [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art maximal?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art, falls p = 0.75? Um wieviel verringert sie sich, falls n = 20 und p = 0.75? |
Hallo,
mit welchem Test kann ich bei einer Hypothese einen ganzen Bereich testen? Bislang habe ich nur t-Tests mit Nullhypothesen (bzw. Alternativhypothesen) durchgeführt, bei der ganz klar gefragt war: Ist [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu_1 [/mm] oder ist [mm] \mu \ne \mu_1 [/mm] ... nun stellt sich aber ja die Frage, liegt p in einem Bereich, also ist p [mm] \in \Theta_i [/mm] ?
Wie kann ich feststellen, wieviel Einsen die Stichprobe maximal enthalten darf? Durch Probieren, oder geht das eleganter?
Vielen Dank bereits im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Mattijo,
in der Aufgabenstellung ist doch von einer Testvorschrift die Rede. $ [mm] \phi(X_1,...,X_n) =1_{(0.7,1]}( \overline{X_n}) [/mm] $. Wenn die 1 ist, wird [mm] H_0 [/mm] verworfen, wenn sie 0 ergibt, wird [mm] H_0 [/mm] angenommen. Überlege einfach, wann sie 0 ergibt. Daraus kannst auf die maximale Anzahl der 1 in der Stichprobe schließen und mußt nicht raten, sondern kannst es ausrechnen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 23.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Danke! Mir hat gefehlt, was diese Testvorschrift genau aussagt.
Demnach muss der Mittelwert [mm] \overline{X_n} \le [/mm] 0,7 sein und damit dürfen bei n=10 maximal sieben Einsen drin sein?
Wie kann ich bei der (b) vorgehen? Was ist da genau mit dem "Fehler erster Art" gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi.
Na, das sollte doch in der Vorlesung stehen, wenn in der Übung danach gefragt wird. Ansonsten hilft fast immer Google , zB ![[]](/images/popup.gif) hier.
Es ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass [mm] H_0 [/mm] verworfen wird, obwohl [mm] H_0 [/mm] in Wirklichkeit zutreffend ist. Bei dir wird nun von p=0,4 ausgegangen und gesucht ist die W'keit einer Ablehnung, also:
[mm] P_{p=0,4}(\phi(X_1,\ldots,X_n)=1) [/mm] Das kannst du vereinfachen, indem du das Ergebnis aus a) benutzt.
LG walde
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