Termumformung Binomialkoef. < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Di 03.11.2009 | | Autor: | MK111 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch Termumformung, dass: [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k} [/mm] |
Unser Professor hat so angefangen: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n!/[k!*(n-k)!]= n!/(n-k)![n-(n-k)!]= [mm] \vektor{n \\ n-k}
[/mm]
Meine Frage ist jetzt wie komme ich von k!*(n-k)! darauf das in (n-k)!*[n-(n-k)!] umzuformen und vor allem wie komme ich von diesem Schritt jetzt auf [mm] \vektor{n \\ n-k}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 03.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
${n [mm] \choose k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}$ [/mm] nach Definition.
Dann ist:
${n [mm] \choose {n-k}}=\frac{n!}{(n-k)!*(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!*((n-n)+k))!}=\frac{n!}{(n-k)!*k!}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}={n \choose k}$.
[/mm]
Insgesamt:
${n [mm] \choose [/mm] {n-k}}={n [mm] \choose [/mm] k}$
bzw. (linke und rechte Seite vertauscht)
${n [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] {n-k}}$.
Schönen Gruß
Karsten
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