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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:43 Mo 02.08.2010 | | Autor: | PatrickC |
Hallo,
meine Frage bezieht sich auf das Tensorprodukt des lebesgueschen Hilbertraums [mm] L^2. [/mm] Und zwar bin ich schon mehrfach Isomorphieaussagen der Form [mm] L^2(\IR)\otimes L^2(\IR)\cong L^2(\IR^2) [/mm] begegnet. Intuitiv scheint mir das Ganze nachvollziehbar zu sein. Aber es gelingt mir nicht, die Isomorphie nachzuweisen.
Der erste Gedanke, der mir kam, war folgender:
Seien [mm] f,g\in L^2(\IR). [/mm] Dann ist [mm] h:(x,y)\mapsto f(x)g(y)\in L^2(\IR^2). [/mm] Da stellt sich natürlich die Frage, ob sich daraus ein Isomorphismus bauen lässt. Ich sehe das momentan noch nicht.
Eine andere Möglichkeit wäre natürlich, mit einer Basis zu arbeiten. Dann könnte man sich überlegen, ob man mit einer gegebenen Basis des [mm] L^2(\IR) [/mm] eine Basis für [mm] L^2(\IR^2) [/mm] konstruieren kann. Aber auch das scheint mir nicht offensichtlich zu sein.
Ich wäre für Hinweise dankbar.
Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 06.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Patrick!
> meine Frage bezieht sich auf das Tensorprodukt des
> lebesgueschen Hilbertraums [mm]L^2.[/mm] Und zwar bin ich schon
> mehrfach Isomorphieaussagen der Form [mm]L^2(\IR)\otimes L^2(\IR)\cong L^2(\IR^2)[/mm]
> begegnet. Intuitiv scheint mir das Ganze nachvollziehbar zu
> sein. Aber es gelingt mir nicht, die Isomorphie
> nachzuweisen.
>
> Der erste Gedanke, der mir kam, war folgender:
>
> Seien [mm]f,g\in L^2(\IR).[/mm] Dann ist [mm]h:(x,y)\mapsto f(x)g(y)\in L^2(\IR^2).[/mm]
> Da stellt sich natürlich die Frage, ob sich daraus ein
> Isomorphismus bauen lässt. Ich sehe das momentan noch
> nicht.
Die Zuordnung $(f, g) [mm] \mapsto [/mm] h$ ist bilinear. Damit gibt es nach der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes genau einen Homomorphismus [mm] $L^2(\IR) \otimes L^2(\IR) \to L^2(\IR^2)$ [/mm] mit $f [mm] \otimes [/mm] g [mm] \mapsto [/mm] h$.
Du musst nun zeigen, dass dieser ein Isomorphismus ist.
Ich vermute mal, bei deinem Tensorprodukt handelt es sich nicht um das normale (algebraische) Tensorprodukt, sondern um das topologische Tensorprodukt (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier und hier).
In dem Fall reicht es fuer die Surjektivitaet z.B. aus zu zeigen, dass das Bild dicht ist sowie abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit bekommst du vielleicht mit dem Satz vom abgeschlossenen Bild hin.
(Das Problem wird uebrigens auch hier erwaehnt.)
> Eine andere Möglichkeit wäre natürlich, mit einer Basis
> zu arbeiten. Dann könnte man sich überlegen, ob man mit
> einer gegebenen Basis des [mm]L^2(\IR)[/mm] eine Basis für
> [mm]L^2(\IR^2)[/mm] konstruieren kann. Aber auch das scheint mir
> nicht offensichtlich zu sein.
Ich glaube, damit kommst du nicht wirklich weiter...
LG Felix
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