Tensoren und Multilinearformen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:39 Di 18.08.2015 | | Autor: | phychem |
Hallo allerseits
Ich bin gerade dabei, mich im Rahmen der Linearen Algebra in die Theorie der Tensoren und die multilineare Algebra einzulesen. Dabei bin ich auf folgende Frage gestossen:
Aus der Universaldefinition des Tensorprodukts folgt ja unter anderem, dass der Dualraum des Tensorprodukts V [mm] \otimes [/mm] W zweier K-Vektorräume V und W isomorph zum Raum aller Bilinearformen [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] ist. Bzw. allgemeiner ist der Dualraum des Tensorprodukts [mm] V_{1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes V_{s} [/mm] mehrerer K-Vektorräume [mm] V_{1},...,V_{s} [/mm] isomorph zum Raum aller Multilinearformen [mm] L_{s}(V_{1},...,V_{s};K):
[/mm]
[mm] Dual(V_{1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes V_{s}) \cong L_{s}(V_{1},...,V_{s};K)
[/mm]
Man kann diese beiden Räume auf kanonische Weise miteinander identifizieren, siehe:
![[]](/images/popup.gif) wiki-link
Nun zu meiner Frage:
Warum identifiziert man das Tensorprodukt nicht einfach mit dem entsprechenden Raum der Multilinearformen? Im Fall einfachsten Fall: Warum identifiziert man V [mm] \otimes [/mm] W nicht einfach mit [mm] L_{2}(V,W;K)? [/mm] Dies wäre doch eine äusserst einfache und praktische Interpreation des Tensorprodukts. Warum macht man das nicht?
Ich glaube bereits eine Antwort auf diese Frage gefunden zu haben, bin mir aber nicht sicher, ob meine Überlegungen korrekt sind:
Sollten V und W endlichdimensional sein, so kann man V [mm] \otimes [/mm] W wohl tatsächlich mit [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] identifizieren können. Immerhin besitzen ja beide die Dimension dim(V)dim(W) und sind damit isomorph. Der Grund, weshalb man dies nicht allgemein macht, liegt wohl am unendlichdimensionalen Fall:
Sei [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] eine Basis von V und [mm] (w_{j})_{j \in J } [/mm] eine Basis von W. Man definiere folgende Bilinearformen (Bilinearformen sind bekanntlich durch das Bild von [mm] (v_{i},w_{j})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] bereits wohldefiniert):
[mm] f_{ij}: [/mm] V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K mit [mm] f_{ij}(v_{i',j'})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i'=i \mbox{ und } j'=j \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Nach der klassischen "Konstruktion" von V [mm] \otimes [/mm] W steht die Familie [mm] (f_{ij})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] gerade für eine Basis von V [mm] \otimes [/mm] W; [mm] f_{ij} [/mm] kann quasi als [mm] v_i \otimes w_j [/mm] verstanden werden. Mit "klassischer Konstruktion" meine ich die Identifizierung von V [mm] \otimes [/mm] W mit
{f: I [mm] \times [/mm] J [mm] \to [/mm] K: f(i,j) [mm] \not= [/mm] 0 für nur endlich viele (i,j) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J}
bzw. noch besser: Der Menge aller Bilinearformen V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K, die nur endlich viele [mm] (v_i,w_j) [/mm] auf von 0 verschieden Werte abbilden.
ABER [mm] (f_{ij})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] bildet keine Basis bzw. kein Erzeugendensystem von [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] wenn I oder J unendlich ist. Denn es gibt dann Bilinearformen, die sich unmöglich als (endliche) Linearkombination von [mm] f_{ij} [/mm] schreiben lassen. Nämlich diejenigen, die unendlich viele [mm] (v_i,w_j) [/mm] auf von 0 verschiedene Werte abbilden.
Ist das so richtig? Das scheint mir die einzig logische Erklärung zu sein, weshalb man zwischen V [mm] \otimes [/mm] W und [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] unterscheidet. V [mm] \otimes [/mm] W wäre gemäss meiner obigen Interpretation ein Unterraum von [mm] L_{2}(V,W;K), [/mm] der im Fall, dass V oder/und W unendlichdimensional ist, verschieden von [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] ist.
Ich habe leider nirgends eine Antwort auf diese Frage gefunden...ich glaub zwar, der folgende Wiki-Artikel Abschnitt will genau diese Unterscheidung zwischen V [mm] \otimes [/mm] W und [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] erklären, aber ich verstehe einfach nicht, auf was der Autor genau hinaus will:
wiki-link
Kann mir das jemand erklären? Will der Autor einfach sagen, dass man ein Tensorprodukt aus drei Vektorräumen nicht durch einen Raum von Bilinearformen ausdrücken kann?
Gruss phychem
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 20.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
