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Teleskopsumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Mi 07.04.2010
Autor: el_grecco

Aufgabe
Berechnen Sie:

(b) [mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}$ $(n\in\IN)$ [/mm]

Hallo.
Eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
Warum hat man bei der Erstellung von [mm] $a_{k}$ [/mm] und [mm] $a_{k+1}$ [/mm] innerhalb der Klammer [mm] $\bruch{1}{k+1}$ [/mm] eingefügt; hätte man nicht genausogut

[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right):=a_{k}$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}$ [/mm]

schreiben können?

Vielen Dank.

Gruß
el_grecco



Musterlösung:

Untersuchen der Summanden ("Partialbruchzerlegung"):

[mm] $\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2}=\bruch{k+2}{k(k+2)}-\bruch{k}{k(k+2)}=\bruch{(k+2)-k}{k(k+2)}=\bruch{2}{k(k+2)}$ [/mm]

Also gilt:

[mm] $\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2} \right)=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k+2} \right)=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1} \right)-\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{k+2} \right)$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1} \right):=a_{k}$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}$ [/mm]

Damit haben wir wieder eine teleskopische Summe erzeugt, und damit bekommen wir:

[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\summe_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-a_{n+1}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2} \right)-\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2} \right)=\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}\bruch{(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$ [/mm]

        
Bezug
Teleskopsumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Mi 07.04.2010
Autor: ullim

Hi,

> Berechnen Sie:
>  
> (b) [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}[/mm]  [mm](n\in\IN)[/mm]
>  Hallo.
>  Eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
>  Warum hat man bei der Erstellung von [mm]a_{k}[/mm] und [mm]a_{k+1}[/mm]
> innerhalb der Klammer [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] eingefügt; hätte man
> nicht genausogut
>  
> [mm]\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right):=a_{k}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}[/mm]
>  
> schreiben können?
>  

Wenn [mm] a_k=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right) [/mm] ist dann ist

[mm] a_{k+1}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1} \right) [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right) [/mm]

Genügt die Antwort?

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Teleskopsumme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Mi 07.04.2010
Autor: el_grecco

Vielen Dank, ullim. Die Antwort passt perfekt! ;-)

Gruß
el_grecco


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