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Ein schönes Hallo an euch alle,
ich habe ein Problem mit folgenden Aufgaben:
1.)Wieviele Lösungen besitzen folgende Gleichungen ?
Beantworten Sie dies mit Kurvendiskussion, insbesondere durch das Bestimmen der Intervalle, in denen die Funktionem streng monoton wachsen oder fallen.
a) ln x - [mm] \bruch{x}{2}+1 [/mm] = 0
b) cos x = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] x^{4}
[/mm]
2.) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen bis auf einen Fehler [mm] \le 10^{-3}
[/mm]
a) [mm] x^{3}+2x-5 [/mm] = 0
b) 2cos x - [mm] x^{2} [/mm] = 0
Zu 1a) Wenn ich die Intervalle von der Funktion bestimme, in denen sie monoton ist, komm ich auf, in (0;2) streng monoton wachsend und in (2; [mm] \infty) [/mm] streng monoton fallend. Das heißt ja, das die Funktion nie die 0 erreicht, was man ja auch schon am Definitionsbereich sieht. Stimmt das soweit ?? Das würde ja bedeuten, dass die Funktion keine Lösung hat, richtig ?
zu 1b) da fehlt mir irgendwie der Weg. Muß ich da so umstellen, das auf der rechten Seite 0 steht ?? Selbst wenn ich es so mache, komme ich auf keinen grünen Zweig.
zu Aufgabe 2) Meiner Meinung geht das mit dem Newtonsche Verfahren. Allerdings fehlen mir hier die Aufzeichnungen, da ich an dieser Vorlesung leider nicht teilnehmen können. Auch mit Informationen, die ich mir aus dem Internet zusammen gesucht habe, komme ich mit den Aufgaben nicht weiter.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen, und bedanke mich schonmal im Vorraus,
Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Grüße Chironimus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi,
ich teste mal ob ich in meiner Zeit hier was gelernt habe: Dir ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1.)Wieviele Lösungen besitzen folgende Gleichungen ?
>
> Beantworten Sie dies mit Kurvendiskussion, insbesondere
> durch das Bestimmen der Intervalle, in denen die Funktionem
> streng monoton wachsen oder fallen.
>
> a) ln x - [mm]\bruch{x}{2}+1[/mm] = 0
>
> b) cos x = [mm]x^{2}[/mm] - [mm]x^{4}
[/mm]
>
> 2.) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen
> bis auf einen Fehler [mm]\le 10^{-3}
[/mm]
>
> a) [mm]x^{3}+2x-5[/mm] = 0
>
> b) 2cos x - [mm]x^{2}[/mm] = 0
>
> Zu 1a) Wenn ich die Intervalle von der Funktion bestimme,
> in denen sie monoton ist, komm ich auf, in (0;2) streng
> monoton wachsend und in (2; [mm]\infty)[/mm] streng monoton fallend.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das heißt ja, das die Funktion nie die 0 erreicht, was man
> ja auch schon am Definitionsbereich sieht. Stimmt das
> soweit ?? Das würde ja bedeuten, dass die Funktion keine
> Lösung hat, richtig ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Berechne doch mal zum Spass was du für [mm] $x_1=0,1$, $x_2=1$ [/mm] und [mm] $x_3=10$. [/mm] Dann kannst du mit dem ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatz argumentieren, dass es doch zwei Nullstellen geben muss. Zeichne sonst mal den Graphen der Funktion.
> zu 1b) da fehlt mir irgendwie der Weg. Muß ich da so
> umstellen, das auf der rechten Seite 0 steht ?? Selbst wenn
> ich es so mache, komme ich auf keinen grünen Zweig.
Die Aufgabe ist auch deutlich schwieriger zu entscheiden. Auf jeden Fall kannst du genau so das Problem auf eine Nullstellenbestimmung zurück führen (Diese Funktion ist $y$-Achsen-symmetrisch). Soweit das mein Funktionenplotter zeigt, gibt es auch in diesem Fall keine Nullstelle, aber mir fällt auch kein Nachweis dafür ein :-(
>
> zu Aufgabe 2) Meiner Meinung geht das mit dem Newtonsche
> Verfahren. Allerdings fehlen mir hier die Aufzeichnungen,
> da ich an dieser Vorlesung leider nicht teilnehmen können.
> Auch mit Informationen, die ich mir aus dem Internet
> zusammen gesucht habe, komme ich mit den Aufgaben nicht
> weiter.
Dafür haben wir die Mathebank. Z.B. gibt es dort auch eine Erklärung des Newton Verfahrens. Oder auch weitere Erläuterungen hier.
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen, und bedanke
> mich schonmal im Vorraus,
ich hoffe das hilft dir, vesuch mal diese Tipps zu nutzen und sonst fragst du noch mal später nach.
Gruß Brackhaus
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Hallo Brackhaus, zunächst mal danke für deine Antwort.
Allerdings habe ich damit Probleme.
Du sagtest, ich sollte bei 1 den Zwischenwertsatz anwenden, aber der bezieht sich doch auf ein Intervall geschlossener Form oder ? Ich habe hier odch allerdings ein offenes Intervall vorliegen, geht das dann trotzdem ?
Für die Werte, die du mir gegeben hast.
Also, x = 0,1 < 0 , x = 1 > 0 und x = 10 wiederum < 0.
Das heißt, das die Funktion insgesamt 2 mal ihr Vorzeichen wechselt.
Aber wie genau, kann ich das jetzt mit dem Zwischenwertsatz zeigen??
Könntest du das mir vielleicht näher erläutern ?
Muß ich die Nullstellen explizit angeben ?
Dein Link zum Thema Newtonsche Verfahren zur Nullstellenberechnung, hat mich leider auch nicht weiter gebracht.
Mir ist der Sinn dieses Verfahrens noch nicht klar, und wenn ich Versuch, das angegebene Beispiel auf meine Funktionen zu übertagen, geht das schief.
Vielleicht noch ne Idee ???
Wäre wirklich dankbar
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Hi, chironimus,
der Zwischenwertsatz wird in Deinem Fall zum Nullstellensatz. Und der lautet ungefähr so:
Wenn eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetige (!)
Funktion f für f(a) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen hat, so muss zwischen a und b mindestens eine NS liegen.
Nun: Bei Deiner Funktion ist f auf dem abg. Int. [0,1; 1] stetig und die Funktionswerte haben links und rechts unterschiedliche Vorzeichen.
Heißt: In diesem Intervall liegt mindestens 1 NS.
Das Analoge gilt für das zweite abgeschlossene Intervall [1; 10]. Dort muss es also wieder mindestens eine NS geben.
Aufgrund des von Dir richtig ermittelten Monotonieverhaltens sind das dann aber auch die einzigen NS.
Deine Zusatzfrage ("Muss ich die Nullstellen explizit berechnen?") ist eindeutig mit "Nein" zu beantworten!
Die Frage lautet ganz klar: Anzahl (nicht: Lage!) der Nullstellen!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
das was du geschrieben hast, hab ich jetzt verstanden.
Also, ich muß einfach zwei Punkte aus meinem Intervall für die Monotonie herausnehmen, berechnen und dann mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeigen, das beide Werte dann unterschiedliche Vorzeichen haben.
Z.B. könnte ich ja auch die Punkte 0,1 und 1,9 und 1,9 und 20 wählen, richtig ? Hauptsache die Vorzeichen unterscheiden sich letztendlich.
Jetzt zur 1b)
Ich weiß, das die Funktion keine Lösungen besitzt. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll.
Die Ableitung ist ja : sin x - [mm] 4x^{3} [/mm] + 2 x.
Um die Monotonieintervalle herauszubekommen, brauche ich ja die Nullstellen, das ist zum einen 0 .Zum anderen muß es aber noch eine Zweite geben, wenn man sich die Funktion mal plotten lässt. Ich bin irgendwie nicht in der Lage diese zu bestimmen.
Oder steh ich jetzt total auf dem Schlauch ?
Würde mich über noch ein wenig Hilfe sehr freuen, soweit es möglich ist.
Auch Hilfen bzgl. der zweiten Aufgabe sind sehr willkommen 
Grüße Chiro
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Also, chironimus,
Du hast Recht: Die 2. Aufgabe ist viel schwieriger als die erste, vor allem auch deshalb, weil man diesmal zeigen muss, dass es keine Lösung gibt.
(Hab' übrigens grad eben schon mal angefangen und anschließend noch mal auf die Aufgabe geklippt: War mein angefangener Text anschließend nicht mehr zu finden! Sowas ärgert mich!)
Also: Ich hab' so angefangen wie Du: Alles auf eine Seite, Funktion abgeleitet. Bei mir lautet die Funktionsgleichung [mm] y=cos(x)+x^{4}-x^{2}, [/mm] weil ich lieber mit Funktionen arbeite, deren Graphen "oberhalb" liegen.
Bei mir gibt's laut Skizze 3 Extrempunkte, einen Hochpunkt bei x=0 (der interessiert nicht) und zwei Tiefpunkte.
Da der Graph offensichtlich links und rechts gegen + [mm] \infty [/mm] geht, muss man eigentlich nur zeigen, dass die Tiefpunkte oberhalb der x-Achse liegen.
Problem natürlich: Man kann sie nicht exakt berechnen.
Da die Sinusfunktion nie größer als 1 ist, ist diese Ableitung zumindest dann positiv, wenn [mm] 4x^{3}-2x>1 [/mm] ist, was wiederum (nur ganz grob abgeschätzt! Vielleicht geht's genauer!) für x>1 der Fall ist.
Da die Funktion bei x=1 positiv ist und nach obiger Betrachtung echt monoton zunimmt, hat sie zumindest rechts von x=1 (und wegen der Symmetrie links von x=-1) keine Nullstellen.
Man wird sich also im Weiteren auf den Bereich -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 konzentrieren können und hier wiederum (wegen der Symmetrie)
auf 0<x [mm] \le1.
[/mm]
Hier ist die Cosinusfunktion echt monoton abnehmend mit minimalem Wert cos(1)=0,54 auf dem rechten Rand.
Da nun umgekehrt die Funktion [mm] y=x^{2}-x^{4} [/mm] zwischen 0 und 1 maximal 0,25 werden kann (Maximum bei [mm] x=\wurzel{0,5}!), [/mm] liegt der Graph der Cosinusfunktion in diesem Bereich immer über dem Graphen dieser Funktion:
Auch hier kann die Differenz nicht null werden.
Hoffentlich stimmen meine Überlegungen: Die Aufgabe ist doch reichlich knifflig!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 10.02.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hey Zwerglein,
vielen Dank, dass du dir soviel Mühe mit mir gegeben hast.
Auch das du ein zweites mal angefangen hast, da das wirklich sehr ärgerlich ist, wenn plötzlich alles wieder weg ist.
Ich habe verstanden, wie du argumentiert hast und mehr kann ich nun wirklich nicht aus dieser Aufgabe "lesen".
Also, sollte es reichen.
Nochmals Vielen Dank !
Grüße Chiro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 10.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, chiro,
na, und ich hoffe, es stimmt auch alles!
Nochmals: Viele Grüße!
Zwerglein
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