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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Sa 07.05.2011 | | Autor: | xumpf |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einen Körper und U [mm] \subseteq [/mm] V, U [mm] \not= [/mm] 0 .
Dann sind äquivalent:
i) U ist ein Teilraum von V
ii) [mm] \lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \mu \vec{v} \in [/mm] U für alle [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K und [mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] U.
Zeigen Sie, dass aus ii), i) folgt. |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade vor meinem Matheübungsblatt und komme nicht weiter, ich hoffe daher, dass ihr mir helfen könnt.
Ich habe mir schon überlegt, dass man zeigen muss, dass es sich hierbei um einen Vektorraum handelt.
Dafür haben wir folgendes definiert.
1.) (V,+) ist eine kommutative Gruppe.
2.) *: V*U [mm] \to [/mm] U ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
a) [mm] (a+\mu)*vec{v} [/mm] = [mm] a*\vec{v} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}
[/mm]
b) [mm] \lambda*( \vec{u}+ \vec{v}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} \lambda
[/mm]
c) [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * [mm] \vec{v})= (\lambda [/mm] * [mm] \mu [/mm] )* [mm] \vec{v}
[/mm]
d) 1 * [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{v}.
[/mm]
Ich weiss an dieser Stelle leider nicht ,wie ich das Kriterium oben zu diesen umformen kann.
Ich bin für jede Hilfe und jeden Tipp dankbar, vielleicht könnt ihr mit das Vorgehen ja für eine der Bedingungen zeigen.
LG
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> Sei V ein Vektorraum über einen Körper und U [mm]\subseteq[/mm] V,
> U [mm]\not=[/mm] 0 .
> Dann sind äquivalent:
> i) U ist ein Teilraum von V
> ii) [mm]\lambda \vec{u}[/mm] + [mm]\mu \vec{v} \in[/mm] U für alle [mm]\lambda, \mu \in[/mm]
> K und [mm]\vec{u}, \vec{v} \in[/mm] U.
> Zeigen Sie, dass aus ii), i) folgt.
> Hallo zusammen,
> ich sitze gerade vor meinem Matheübungsblatt und komme
> nicht weiter, ich hoffe daher, dass ihr mir helfen könnt.
> Ich habe mir schon überlegt, dass man zeigen muss, dass
> es sich hierbei um einen Vektorraum handelt.
> Dafür haben wir folgendes definiert.
Du machst hier ein Durcheinander. Du mußt Dich entscheiden, ob Du aufschreiben willst, was gelten muß, wenn U eine VR ist, oder ob Du es für V aufschreiben willst.
Ich verbessere es mal so, daß es für U dasteht.
> 1.) [mm] (\red{U},+) [/mm] ist eine kommutative Gruppe.
> 2.) *: [mm] \red{K\times}U[/mm] [mm]\to[/mm] U
> ist eine Abbildung mit folgenden
> Eigenschaften:
> a) [mm](a+\mu)*\vec{v}[/mm] = [mm]a*\vec{v}[/mm] + [mm]\mu*\vec{v}[/mm]
> b) [mm]\lambda*( \vec{u}+ \vec{v})[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v} \lambda[/mm]
> c) [mm]\lambda[/mm] * [mm](\mu[/mm] * [mm]\vec{v})= (\lambda[/mm] * [mm]\mu[/mm] )* [mm]\vec{v}[/mm]
> d) 1 * [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vec{v}.[/mm]
> Ich weiss an dieser Stelle leider nicht ,wie ich das
> Kriterium oben zu diesen umformen kann.
Hallo,
mit "umformen" kommst Du nicht zum Ziel.
Du mußt mithilfe von ii) zeigen, daß i) gilt, und dazu sämtliche Axiome durchgehen. Selbstverständlich darfst Du verwenden, daß V ein VR ist.
Gewisse Eigenschaften des Vektorraumes V "vererben" sich natürlich auf U.
Fangen wir mal mit der Untersuchung der Eigenschaft "(U,+) ist abelsche Gruppe" an:
als erstes mal müßtest Du begründen, warum es richtig ist, daß + aus der Menge [mm] U\times [/mm] U in die Menge U abbildet.
Dann die Assoziativität und Kommutativität: warum gilt das?
neutrales Element: warum kannst Du sicher sein, daß [mm] \overrightarrow{0} [/mm] in U ist? Tip: U ist nichtleer. Nimm Dir ein Element aus U und multipliziere passend.
Inverse Elemente: warum ist mit [mm] \vec{u} [/mm] auch [mm] -\vec{u} [/mm] in U?
Zu den Eigenschaften 2): warum müssen diese Gesetze gelten?
Gruß v. Angela
Neutrales
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 08.05.2011 | | Autor: | xumpf |
Hallo,
erst einmal danke für die schnelle Antwort.
Leider weiss ich immer noch nicht so genau wie ich jetzt anfangen soll und was ich benutzen darf und was nicht.
Unklar ist für mich, was ich von den Kriterien des Vektorraums benutzen darf und welche ich davon zeigen muss.
Aus diesem Problem folgt für mich das nächste, dass ich nämlich mir nämlich immer noch nicht richtig vorstellen kann, wie vorgegangen werden muss.
Ich hoffe mir kann nochmal jemand helfen.
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> Hallo,
> erst einmal danke für die schnelle Antwort.
> Leider weiss ich immer noch nicht so genau wie ich jetzt
> anfangen soll und was ich benutzen darf und was nicht.
> Unklar ist für mich, was ich von den Kriterien des
> Vektorraums benutzen darf und welche ich davon zeigen
> muss.
Hallo,
Du darfst neben ii) alle Axiome für den VR V verwenden, und Du mußt alle Axiome über U beweisen.
> Aus diesem Problem folgt für mich das nächste, dass ich
> nämlich mir nämlich immer noch nicht richtig vorstellen
> kann, wie vorgegangen werden muss.
Ich hatte ja schonmal ein bißchen angefangen. Die dort gestellten Fragen dienten zu Deiner Hilfe und Anleitung.
Wenn Du nicht zurecht kommst, frag bitte konkreter nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 09.05.2011 | | Autor: | xumpf |
Ja, also als Problem erweist sich für mich einfach, dass wir bis jetzt das ganze immer nur praktisch gemacht haben. Wir hatten immer Vektor- oder Teilräume mit definierten Elementen, da war mir klarer, was ich machen konnte/ durfte.
Darf ich denn einfach sagen:
[mm] \vec{u} \in [/mm] U, [mm] \vec{v} \in [/mm] U
--> [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} \in [/mm] U
für [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K
--> [mm] \lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \mu \vec{v}
[/mm]
Ist damit schon die Abgeschlossenheit gezeigt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mo 09.05.2011 | | Autor: | huzein |
Ihr habt doch sicherlich definiert was unter einem Teilraum / Unterraum / Untervektorraum zu verstehen ist?! Eine gängige Definition ist diese:
Def.: (Teilraum)
Sei $K$ ein Körper und $V$ ein Vektorraum über $K$, dann heißt [mm] $U\subseteq [/mm] V$ ein Teilraum (von $V$), falls gilt
i. [mm] $0\in [/mm] U$ (was äquivalent dazu ist, dass $U$ nichtleer ist)
ii. [mm] $u,v\in U\implies u+v\in [/mm] U$
[mm] iii.$u\in [/mm] U, [mm] \lambda\in K\implies \lambda u\in [/mm] U$
Du musst also nur diese drei Bedingungen zeigen, unter der Voraussetzung, dass $ii.$ aus deiner Aufgabenstellung gilt.
Die Behauptungen ergeben sich dann unmittelbar, wenn du [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] entsprechend wählst.
Gruß
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> Ihr habt doch sicherlich definiert was unter einem Teilraum
> / Unterraum / Untervektorraum zu verstehen ist?! Eine
> gängige Definition ist diese:
>
> Def.: (Teilraum)
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm], dann
> heißt [mm]U\subseteq V[/mm] ein Teilraum (von [mm]V[/mm]), falls gilt
> i. [mm]0\in U[/mm] (was äquivalent dazu ist, dass [mm]U[/mm] nichtleer
> ist)
> ii. [mm]u,v\in U\implies u+v\in U[/mm]
> iii.[mm]u\in U, \lambda\in K\implies \lambda u\in U[/mm]
Hallo,
das ist eher nicht die Definition von "Untervektorraum", sondern es ist ein Kriterium, mit welchen man "Untervektorraum" nachweist.
Ich vermute, daß in xumpfs Vorlesung die von Dir geposteten Unterraumkriterien nicht dran waren, denn xumpf soll ja gerade ein sehr ähnliches Kriterium zeigen.
Genau wissen tut natürlich nur xumpf, was dran war und was nicht.
Gruß v. Angela
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> Du musst also nur diese drei Bedingungen zeigen, unter der
> Voraussetzung, dass [mm]ii.[/mm] aus deiner Aufgabenstellung gilt.
>
> Die Behauptungen ergeben sich dann unmittelbar, wenn du
> [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] entsprechend wählst.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mo 09.05.2011 | | Autor: | huzein |
> das ist eher nicht die Definition von "Untervektorraum",
> sondern es ist ein Kriterium, mit welchen man
> "Untervektorraum" nachweist.
ist richtig, eher ein Kriterium, aber einige Dozenten stellen dieses dennoch als Definition hin. Man könnte es aber natürlich auch als Satz formulieren und beweisen.
BTW Werden Definitonen oft benutzt um Behauptungen nachzuweisen ;)
Gruß
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> Ja, also als Problem erweist sich für mich einfach, dass
> wir bis jetzt das ganze immer nur praktisch gemacht haben.
> Wir hatten immer Vektor- oder Teilräume mit definierten
> Elementen, da war mir klarer, was ich machen konnte/
> durfte.
> Darf ich denn einfach sagen:
> [mm]\vec{u} \in[/mm] U, [mm]\vec{v} \in[/mm] U
> --> [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v} \in[/mm] U
> für [mm]\lambda, \mu \in[/mm] K
> --> [mm]\lambda \vec{u}[/mm] + [mm]\mu \vec{v}[/mm]
> Ist damit schon die
> Abgeschlossenheit gezeigt?
Hallo,
einen Blumentopf gewinnst Du damit noch nicht.
Ich zeige Dir mal, wie es geht:
zu zeigen: für [mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] U ist [mm] \vec{u}+\vec{v} \in [/mm] U.
Beweis:
Seinen [mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] U.
Da [mm] U\subseteq [/mm] V, sind auch [mm] \vec{u}, \vec{v} \in [/mm] V.
V ist ein VR, also gilt [mm] 1*\vec{u}=\vec{u} [/mm] und [mm] 1*\vec{v}=\vec{v}.
[/mm]
Damit ist [mm] \vec{u}+\vec{v}=1*\vec{u}+ 1*\vec{v}, [/mm] und nach ii) ist diese Summe Element von U.
Beachte bitte, wie ich jeden Schritt, den ich gegangen bin, begründet habe durch Eigenschaften von V oder durch ii).
Gruß v. Angela
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