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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \delta: \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m [/mm] eine lineare abbildung, für alle x ,x* [mm] \in \IR^n [/mm] und alle [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Zeige dass die Menge
L:= { x [mm] \in \IR^n [/mm] | [mm] \delta [/mm] (x) =0}
ein Teilraumbildet.
Zeige weiters dass auch
W:=img [mm] (\delta)= [/mm] {y [mm] \in \IR^m [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] \delta [/mm] (x) = y}
ein Teilraum ist. |
[mm] \delta [/mm] (x) =0
[mm] \delta [/mm] (x*) = 0
[mm] \delta(x+ [/mm] x*) = wegen linearität [mm] \delta [/mm] (x) + [mm] \delta [/mm] (x*) = 0+0=0
[mm] \deltta [/mm] (x [mm] \cdot \lambda) [/mm] =0
[mm] \lambda \cdot \delta(x) [/mm] =0
Ist der erste Teilraum gezeigt?
Wie geh ich beim anderen vor? Könnte ihr mir da helfen
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moin sissile,
Beim ersten Teilraum solltest du dringend noch ein wenig auf Formalitäten achten.
Da ich diese Aufgabe selbst schonmal gemacht habe und schon einige Unterräume gesehen hab ist mir klar was du meinst, aber wenn du das so abgibst dann werden da sicher gnadenlos Punkte abgezogen.^^
Für das Bild deiner Funktion gehst du genauso vor.
Wird die 0 getroffen?
Wenn du a und b im Bild hast dann schnapp dir am besten x und y mit [mm] $\delta(x) [/mm] = a$, [mm] $\delta(y) [/mm] = b$, begründe noch kurz wieso diese x,y existieren und zeige dann, dass auch $a+b$ getroffen wird.
[mm] $\lambda*a$ [/mm] entsprechend
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
Du meinst Formalitäten wie Linearität und eigenschaften des Teilraums allgemein aufschreiben?erledigt
Kannst du mir dass nochmals erklären beim zweiten tailraum?
y=0 bei jeden x
y*=0
für alle y, y* [mm] \in [/mm] W
y+ y* [mm] \in [/mm] W
[mm] \lambda [/mm] y [mm] \in [/mm] W
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> Du meinst Formalitäten wie Linearität und eigenschaften
> des Teilraums allgemein aufschreiben?erledigt
>
> Kannst du mir dass nochmals erklären beim zweiten
> tailraum?
> y=0 bei jeden x
> y*=0
öh, was?
> für alle y, y* [mm]\in[/mm] W
> y+ y* [mm]\in[/mm] W
> [mm]\lambda[/mm] y [mm]\in[/mm] W
jupp, die beiden sind zu zeigen.
Dann musst du noch zeigen, dass $0 [mm] \in [/mm] W$.
Sind y und y* in W enthalten so gibt es (guck dir dafür die Definition von W an) x und x* mit [mm] $\delta(x) [/mm] = y$, [mm] $\delta($x*) [/mm] = y*.
Findest du nun ein z mit [mm] $\delta(z) [/mm] =$ y + y*, dann wäre auch y+y* im Bild enthalten.
Da [mm] $\delta$ [/mm] linear ist lässt sich so ein z mit ein wenig Nachdenken finden.
Wenn du das erstmal hast dann geht die dritte Bedingung ganz genau so.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
(ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)
y [mm] \in [/mm] W
y* [mm] \in [/mm] W
y + y* = [mm] \delta(x) [/mm] + [mm] \delta(x [/mm] *) = [mm] \delta(x+ [/mm] x *)
gehts da noch weiter?
[mm] \lambda [/mm] * y = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta [/mm] (x) = [mm] \delta (\lambda [/mm] x)
gehts da auch noch weiter?
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> Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
> (ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)
>
> y [mm]\in[/mm] W
> y* [mm]\in[/mm] W
> y + y* = [mm]\delta(x)[/mm] + [mm]\delta(x[/mm] *) = [mm]\delta(x+[/mm] x *)
> gehts da noch weiter?
>
> [mm]\lambda[/mm] * y = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\delta[/mm] (x) = [mm]\delta (\lambda[/mm] x)
> gehts da auch noch weiter?
Ne, das ist soweit gut.
Du folgerst dann nur noch jeweils, dass sowohl y+y* als auch [mm] $\lambda*y$ [/mm] in W enthalten sind.
Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr das gelernt habt).
Ansonsten sieht das soweit ganz gut aus, nur ein paar erklärende Sätze (in Textform^^) würden dem Gesamtbild sicher gut tun. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
> (ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)
>
> y $ [mm] \in [/mm] $ W
> y* $ [mm] \in [/mm] $ W
> y + y* = $ [mm] \delta(x) [/mm] $ + $ [mm] \delta(x [/mm] $ *) = $ [mm] \delta(x+ [/mm] $ x *)
-> $ [mm] \delta(x+ [/mm] $ x *) [mm] \in [/mm] W ->y + y* [mm] \in [/mm] W
> $ [mm] \lambda [/mm] $ * y = $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] \delta [/mm] $ (x) = $ [mm] \delta (\lambda [/mm] $ x)
-> [mm] \delta (\lambda [/mm] x) [mm] \in [/mm] W -> [mm] \lambda [/mm] * y [mm] \in [/mm] W
> Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr das gelernt habt).
W:=img [mm] (\delta)= [/mm] {y [mm] $\in \IR^m [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] \delta [/mm] (x) = y}
wenn x=0
[mm] \delta(x) [/mm] = [mm] \delta(0) [/mm] =0
> Textform
Ich muss das eh nicht abgeben, es wir mich nur wenn mündlich geprüft.
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> > Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W
> drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr
> das gelernt habt).
> W:=img [mm](\delta)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{y [mm]$\in \IR^m[/mm] | [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \IR^n[/mm]
> : [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(x) = y}
> wenn x=0
> [mm]\delta(x)[/mm] = [mm]\delta(0)[/mm] =0
Hallo,
ja, genau.
>
> > Textform
> Ich muss das eh nicht abgeben, es wir mich nur wenn
> mündlich geprüft.
Auch in diesem Fall rate ich sehr dazu, im Vorfeld zu üben, solche kleinen Aufgaben in einem netten Text mit korrekten Begründungen darzustellen.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
> wenn x=0
> $ [mm] \delta(x) [/mm] $ = $ [mm] \delta(0) [/mm] $ =0
wie würde man denn das begründen in Textform
Wenn es ein x=0 gibt wird das abgebildet auf 0?
LG ;)
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> > wenn x=0
> > [mm]\delta(x)[/mm] = [mm]\delta(0)[/mm] =0
>
> wie würde man denn das begründen in Textform
> LG ;)
Hallo,
siehst Du, genau das meinte ich! Man will die Begründung - wenn auch mündlich - in der Prüfung von Dir hören, und man tut gut daran, sich solche Dinge am heimischen Schreibtisch genauestens zu überlegen. Schließlich mag man nicht überrascht werden.
Die Begründung ist so: weil [mm] \delta [/mm] aus dem [mm] \IR^n [/mm] heraus abbildet, ist die [mm] 0_{\IR^n} [/mm] (=Nullvektor) im Definitionsbereich von [mm] \delta.
[/mm]
Und weil [mm] \delta [/mm] eine lineare Abbildung ist, wird die Null des Definitionsbereiches auf die Null des Wertebereiches abgebildet.
Auch hier könnte man fragen: warum denn eigentlich? Du solltest eine Antwort parat haben... Sie findet sich in der Definition der linearen Abbildung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
oh gut, danke
> warum denn eigentlich?
was warum? Auf was beziehst du dich jetzt in der Frage?
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> oh gut, danke
>
> > warum denn eigentlich?
> was warum? Auf was beziehst du dich jetzt in der Frage?
Darauf, warum die Null bei linearen Abbildungen auf die Null abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
f(0) = f(0*0) = 0*f(0) = 0
Jetzt fehlen mir noch die worte!
wegen der zweiten eigenschaft der linearen abbildungen:
f [mm] (\lambda [/mm] * x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x)
Ich kann den skalar rausziehen.
ich hoffe ich liege nicht ganz falsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 20.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(0) = f(0*0) = 0*f(0) = 0
>
> Jetzt fehlen mir noch die worte!
> wegen der zweiten eigenschaft der linearen abbildungen:
> f [mm](\lambda[/mm] * x) = [mm]\lambda[/mm] * f(x)
> Ich kann den skalar rausziehen.
>
> ich hoffe ich liege nicht ganz falsch
Du liegst richtig
FRED
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