Teilräume von \IK^2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 09.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Neben den trivialen Teilräumen [mm] \{0\} [/mm] und [mm] \IK^2 [/mm] bildet auch jede Teilmenge der Form <a> = [mm] \{\lambda \vektor{a_1 \\ a_2} | \lambda \in \IK \} [/mm] = [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2}|a_2 x_1 - a_1 x_2 =0\}
[/mm]
Wir wollen uns nun überlegen, dass dies schon alle Teilräume von [mm] \IK^2 [/mm] sind. |
Hallo,
Dazu steht im Skript:
Sei nun W [mm] \subseteq \IK^2 [/mm] ein beliebiger Teilraum und [mm] \{0\}\not=W
[/mm]
Dann existiert 0 [mm] \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] W und wegen der Abgeschlossenheit von A unter der Skalarmultiplikation erhalten wie <a> [mm] \subseteq [/mm] W
Ist <a> [mm] \not= [/mm] W, dann existiet also b [mm] \in [/mm] W ohne <a>
Koordinaten von a und b bezeichnen wir mit [mm] a=\vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] und [mm] b=\vektor{b_1 \\ b_2} [/mm]
Aus a [mm] \not= [/mm] 0 und b [mm] \in [/mm] W folgt d:= [mm] a_1 b_2 [/mm] - [mm] a_2 b_1 \not= [/mm] 0
//FRAGE:Warum ist in der Gleichung plötzlich kein [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mehr wie oben?
Da W abgeschlossen unter addition und skalarmultiplikation ist. erhalten wir für jeden Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} \in \IK^2
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \frac{x_1 b_2 - x_2 b_1}{d} \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] + [mm] \frac{x_2 a_1 - x_1 a_2}{d} \vektor{b_1 \\ b_2} \in [/mm] W
//FRAGE: Ich verstehe nicht wie man genau auf diese Gleichung kommt.
und somit W = [mm] \IK^2
[/mm]
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> Neben den trivialen Teilräumen [mm]\{0\}[/mm] und [mm]\IK^2[/mm] bildet auch
> jede Teilmenge der Form <a> = [mm]\{\lambda \vektor{a_1 \\ a_2} | \lambda \in \IK \}[/mm]
> = [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2}|a_2 x_1 - a_1 x_2 =0\}[/mm]
> Wir wollen
> uns nun überlegen, dass dies schon alle Teilräume von
> [mm]\IK^2[/mm] sind.
> Hallo,
>
> Dazu steht im Skript:
> Sei nun W [mm]\subseteq \IK^2[/mm] ein beliebiger Teilraum und
> [mm]\{0\}\not=W[/mm]
> Dann existiert 0 [mm]\not=[/mm] a [mm]\in[/mm] W und wegen der
> Abgeschlossenheit von A unter der Skalarmultiplikation
> erhalten wie <a> [mm]\subseteq[/mm] W
> Ist <a> [mm]\not=[/mm] W, dann existiet also b [mm]\in[/mm] W ohne <a>
> Koordinaten von a und b bezeichnen wir mit [mm]a=\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
> und [mm]b=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]
> Aus a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\in[/mm] W folgt d:= [mm]a_1 b_2[/mm] - [mm]a_2 b_1 \not=[/mm]
> 0
> //FRAGE:Warum ist in der Gleichung plötzlich kein [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm] mehr wie oben?
Das ist nur eine andere Schreibweise. Man hätte oben auch b statt x schreiben können oder umgekehrt. Es bedeutet aber das gleiche.
>
> Da W abgeschlossen unter addition und skalarmultiplikation
> ist. erhalten wir für jeden Vektor [mm]\vektor{x_1 \\ x_2} \in \IK^2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\frac{x_1 b_2 - x_2 b_1}{d} \vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
> + [mm]\frac{x_2 a_1 - x_1 a_2}{d} \vektor{b_1 \\ b_2} \in[/mm] W
> //FRAGE: Ich verstehe nicht wie man genau auf diese
> Gleichung kommt.
>
Man kann den Ansatz [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}=r*\vektor{a_1 \\ a_2}+s*\vektor{b_1 \\ b_2} [/mm] machen. Das musst du dann nach r und s auflösen. Das Ergebnis hast du schon gegeben bekommen, aber du könntest es auch sicher nochmal von Hand nachrechnen! Vielleicht macht dich das auch sicherer. Um das LGS dann nach r und s aufzulösen, benötigst du auch dringend, dass [mm] a_1b_2-a_2b_1\not=0 [/mm] ist.
> und somit W = [mm]\IK^2[/mm]
>
> DANKE
Ist ansonsten die Logik von dem Beweis klar? Das ist das wichtigste!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man kann den Ansatz [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}=r*\vektor{a_1 \\ a_2}+s*\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]
> machen. Das musst du dann nach r und s auflösen. Das
> Ergebnis hast du schon gegeben bekommen,
auch hier zur Ergänzung:
Dieser Ansatz ist einfach die Verfolgung der Idee, ob man nun schon jeden Vektor [mm] $x=(x_1,x_2)^T \in \IK^2$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] darstellen kann. Und wenn man das GLS in [mm] $r,s\,$ [/mm] nun stets lösen kann, ist man glücklich.
Die Person, die den obigen Beweis aufgeschrieben hat, hat eigentlich dem Publikum einfach unnötige Rechnerei (die sie selbst auf einem Schmierzettel oder sonstwo notiert hat), erspart - so nach dem Motto: Wer's wissen will, rechnet's selber nach oder kommt micbh (oder jemand anderes) fragen.
Man hätte dies in dem Beweis vielleicht ein wenig klarer formulieren können, indem man dort einfach etwa das ganze so aufgeschrieben hätte:
Wie man (leicht) nachrechnet, gilt für jeden Vektor [mm] $(x_1,x_2)^T \in \IK^2$
[/mm]
$$ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \frac{x_1 b_2 - x_2 b_1}{d} \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] + [mm] \frac{x_2 a_1 - x_1 a_2}{d} \vektor{b_1 \\ b_2} \,.$$
[/mm]
(generell: Hinweis: Zum Vorstellen eines Beweises ist das so besser. Eine gegebene Gleichung nachrechnen geht schneller, als ein GLS zu lösen und dann die Lösungen zu kontrollieren. Denn einfach einsetzen und umformen und gucken, ob's passt, ist schnell getan. Beim Lösen eines GLS muss man dann schrittweise Variablen eliminieren etc. pp., wobei das nun bei dem einfachen GLS oben auch kein Ding gewesen wäre.
Beispiel: Wenn ich sage, dass die Gleichung [mm] $x^2-5x+6=0$ [/mm] die Lösungen [mm] $x=2\,$ [/mm] und [mm] $x=3\,$ [/mm] hat, interessiert es jemanden vielleicht gar nicht, wie ich darauf gekommen bin - sofern er weiß oder glaubt, dass diese Gleichung nur zwei Lösungen haben kann. Er testet dann durch einsetzen, ob [mm] $2^2-5*2+6=0\,$ [/mm] gilt und ob [mm] $3^2-5*3+6=0\,$ [/mm] gilt. Hätte ich aber gesagt, dass die Gleichung die Lösungen [mm] $x=2\,$ [/mm] und [mm] $x=4\,$ [/mm] hat, hätte er Einspruch erhoben - und wenn er nun die richtigen Lösungen alle komplett braucht, sagt er, dass ich ihm die bitte nochmal ausrechnen soll - falls er nicht am Rechenweg interessiert ist - oder, falls er das kann, berechnet sie selber nochmal (pq-Formel, quadratische Ergänzung, Satz von Vieta oder einfach "Zahlentesten" bietet sich hier an). Aber im Endeffekt kann es sein, dass ihm egal ist, wie man zu dieser gekommen ist. Er muss nur wissen, dass diese Lösung so korrekt und vollständig ist.
Und analog ist das oben: Ob und wie man passende [mm] $r,s\,$ [/mm] bestimmt, kann einem egal sein, wenn man irgendwoher weiß, dass es passende gibt! Und dem Beweis entnimmt man:
$r:= [mm] \frac{x_1 b_2 - x_2 b_1}{d}$ [/mm] und $s:= [mm] \frac{x_2 a_1 - x_1 a_2}{d}$ [/mm] werden vorgeschlagen. Man sollte aber mindestens nachrechnen, dass sie das auch wirklich tun!!)
Weil [mm] $W\,$ [/mm] abgeschlossen unter Multiplikation mit Skalaren und unter Addition ist (man beachte, dass $a,b [mm] \in [/mm] W$ waren), zeigt die letzte Gleichung, dass für alle [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IK^2$ [/mm] gilt $x [mm] \in W\,.$
[/mm]
Damit ist [mm] $\IK^2 \subseteq [/mm] W$ und damit [mm] $W=\IK^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke, ich hab nun die Gleichung nachgerechnet und jetzt ist es für mich offensichtlich.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, ich hab nun die Gleichung nachgerechnet und jetzt
> ist es für mich offensichtlich.
sehr gut. Und genau so solltest Du bei anderen Unstimmigkeiten
herangehen. (Das heißt keinesfalls, dass Du hier keine Fragen mehr
stellen sollst - aber diese Vorgehensweise hilft extrem beim Verständnis.
Und sei es nur, dass man so bis zu einem Punkt kommt, wo man nicht
versteht, wie's weitergeht - alleine bis dahin hat man viel probiert und
neue Erkenntnisse erhalten.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo.
kleine Ergänzung:
> Neben den trivialen Teilräumen [mm]\{0\}[/mm] und [mm]\IK^2[/mm] bildet auch
> jede Teilmenge der Form <a> = [mm]\{\lambda \vektor{a_1 \\ a_2} | \lambda \in \IK \}[/mm]
> = [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2}|a_2 x_1 - a_1 x_2 =0\}[/mm]
> Wir wollen
> uns nun überlegen, dass dies schon alle Teilräume von
> [mm]\IK^2[/mm] sind.
> Hallo,
>
> Dazu steht im Skript:
> Sei nun W [mm]\subseteq \IK^2[/mm] ein beliebiger Teilraum und
> [mm]\{0\}\not=W[/mm]
> Dann existiert 0 [mm]\not=[/mm] a [mm]\in[/mm] W und wegen der
> Abgeschlossenheit von A unter der Skalarmultiplikation
> erhalten wie <a> [mm]\subseteq[/mm] W
> Ist <a> [mm]\not=[/mm] W, dann existiet also b [mm]\in[/mm] W ohne <a>
> Koordinaten von a und b bezeichnen wir mit [mm]a=\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
> und [mm]b=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]
> Aus a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\in[/mm] W folgt d:= [mm]a_1 b_2[/mm] - [mm]a_2 b_1 \not=[/mm]
> 0
> //FRAGE:Warum ist in der Gleichung plötzlich kein [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm] mehr wie oben?
was hat das mit [mm] $x_1$ [/mm] zu tun? Sowas gibt's hier doch gar nicht. Mach' Dir einfach mal die Bedeutung dieser Aussage klar:
Wenn [mm] $a_1b_2-a_2b_1=0$ [/mm] gelten würde, so würde dies doch wegen [mm] $=\{(x_1,x_2)^T|a_1x_2-a_2x_1=0\}$ [/mm] einfach nur bedeuten, dass [mm] $b=(b_1,b_2)^T$ [/mm] erfüllen würde, dass $b [mm] \in \,.$ [/mm] Aber genau das wollte man ja nicht - man hatte gesagt, dass $b [mm] \notin \,$ [/mm] sein soll. Und solch' ein [mm] $b\,$ [/mm] existiert: Denn es wird ja hier angenommen, dass $<a> [mm] \not=W$ [/mm] ist. Wegen $a [mm] \in [/mm] W$ ist aber $<a> [mm] \subseteq W\,,$ [/mm] und wenn dann $<a> [mm] \not=W$ [/mm] ist, muss $W [mm] \setminus [/mm] <a> [mm] \not=\emptyset$ [/mm] gelten.
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> Da W abgeschlossen unter addition und skalarmultiplikation
> ist. erhalten wir für jeden Vektor [mm]\vektor{x_1 \\ x_2} \in \IK^2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\frac{x_1 b_2 - x_2 b_1}{d} \vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
> + [mm]\frac{x_2 a_1 - x_1 a_2}{d} \vektor{b_1 \\ b_2} \in[/mm] W
> //FRAGE: Ich verstehe nicht wie man genau auf diese
> Gleichung kommt.
>
> und somit W = [mm]\IK^2[/mm]
>
> DANKE
Der Rest ist, denke ich, sicher geklärt. Andernfalls hake nochmal nach bitte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 12.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich danke dir.
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