Teilmengen von Omega, sup < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Seien A1 , A2 , . . . Teilmengen von Ω. Zeigen Sie
[mm] lim_{n} [/mm] sup [mm] A_{n} [/mm] = {ω [mm] \in [/mm] Ω : ω [mm] \in A_{n} [/mm] für unendlich viele n} .
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für was steht hier w ?
und vor allem, was hat das [mm] lim_{n} [/mm] sup zu bedeuten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mi 31.05.2006 | | Autor: | koyama |
Die Lemmata von Borel-Cantelli, Seite 48ff im
Kersting Script.
Tipp vom Tutor war: Definition anschauen und
sich fragen was fuer Elemente drinne liegen
und dann wuerde es schon da stehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 31.05.2006 | | Autor: | choosy |
nun nach definition ist
$limsup [mm] A_n [/mm] = [mm] \bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\geq n} A_k$
[/mm]
ist also [mm] $w\in [/mm] limsup [mm] A_n$, [/mm] so ist [mm] $w\in\bigcup_{k\geq n} A_k$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$
[/mm]
d.h. für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt es ein $k>n$ mit [mm] $w\in A_k$
[/mm]
sprich w ist in [mm] $A_n$ [/mm] für unendlich viele n...
die rückrichtung ist offensichtlich:
ist w in [mm] $A_n$ [/mm] für unendlich viele n, so gilt auch [mm] $w\in\bigcup_{k\geq n} A_k$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$...
[/mm]
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