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| Aufgabe | Der Raum C[0,1] der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1] sei mit der Supremumsnorm versehen. Welche der folgenden Teilmengen ist abgeschlossen (mit Beweis)?
a) {f | f ist bei 0.5 differenzierbar}.
b) {f | [mm] |f(x)|\le e^{x} [/mm] für alle x}. |
Hallo Leute,
also ich hab mit dieser Aufgabe irgendwie ein Problem. Die Funktionen bewegen sich auf [0,1]. Abgeschlossen heißt doch, dass wir eine Folge auf einer Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] haben, deren Grenzwert wieder in M liegt. Nur wie komme ich denn hier zu einer Folge? Oder muss ich eine alternative Definition von "abgeschlossen" benutzen? Kann mir jemand helfen?
Schöne Grüße
Daniel
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Es gilt: Eine Teilmenge M eines metrischen Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.
Hier hast du einen normierten Raum, aber die Norm induziert ja auch eine Metrik, macht also keinen Unterschied.
Zur a)
Du könntest versuchen, eine im Sinne der Supremumsnorm konvergente Folge von stetigen, in 0.5 diffbaren Funktionen zu konstruieren, deren Grenzwert nicht mehr in 0.5 diffbar ist. Oder zeigen, dass das nicht geht (hab's nicht durchgerechnet, kann also nicht ad hoc sagen, was stimmt).
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Hallochen,
danke soweit. Kann mir nicht vorstellen, dass ich so eine Funktion finde, geschweige denn zeigen kann, dass das nicht geht. Bitte also noch mal um Hilfe!
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OK - du musst ein paar Abschätzungen machen. Erstmal gilt
[mm] |f_n(x_0) - f(x_0)| \le sup(f_n - f), \forall x_0 [/mm]
Außerdem konvergiert [mm] f_n [/mm] gegen f, die Differenz geht also gegen 0. Das solltest du jetzt irgendwie mit dem Differentialquotienten für f an 0,5 verwursten (Dreiecksungleichung) und feststellen, ob der Grenzwert des DQ dort existiert - denn dann ist f ja diffbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Fr 25.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Hallochen,
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> danke soweit. Kann mir nicht vorstellen, dass ich so eine
> Funktion finde, geschweige denn zeigen kann, dass das nicht
> geht. Bitte also noch mal um Hilfe!
Das brauchst du auch nicht. Nimm einfach eine stetig differenzierbare Funktion $f$ (die einfachste, die du kennst) und betrachte die Funktionen $n+f$, [mm] $n\in\IN$, [/mm] die ganz sicher wieder in $1/2$ diffbar sind. Naemliche Folge kann ja wohl schlecht beschraenkt sein...
LG Kornfeld
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Was hat die Beschränktheit der Folge mit der Abgeschlossenheit zu tun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 25.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Was hat die Beschränktheit der Folge mit der
> Abgeschlossenheit zu tun?
Sorry, ich merke gerade, dass mir ein Denkfehler entglitten ist. Man muss wirklich eine bezueglich der Supremumsnorm konvergente Folge konstruieren, deren Glieder in $1/2$ diffbar sind und deren Limes nicht dort diffbar ist. Das einfachste Beispiel, das mir einfaellt ist die Betragsfunktion [mm] $\vert [/mm] x- 1/2 [mm] \vert$, [/mm] die in $1/2$ [i] nicht [mm] [\i] [/mm] diffbar ist. Jetzt musst du dir eine Folge konstruieren die gleichmaessig gegen sie konvergiert und in $1/2$ diffbar ist.
LG Kornfeld
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Hallo,
okay das ist soweit klar. Diese Folge muss dann also auf [0,1] gegen f konvergieren, richtig? Gilt dann trotzdem
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}=f [/mm] für die punktweise Konvergenz? Nicht wirklich oder? Ich kann mit punktweiser Konvergenz mehr anfangen, würde also probieren, ob die Folge punktweise konvergiert und dann auf glm Konvergenz prüfen. Oder habt ihr ne bessere Idee wie ich die Folge finde? Was ist übrigens mit b?
Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Fr 25.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Hallo,
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> okay das ist soweit klar. Diese Folge muss dann also auf
> [0,1] gegen f konvergieren, richtig? Gilt dann trotzdem
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}=f[/mm] für die punktweise
> Konvergenz? Nicht wirklich oder?
Die Frage ist doch die: Wie kann ich eine nicht diffbare Funktion wie [mm] $\vert x\vert$ [/mm] durch diffbare Funktionen gleichmaessig approximieren?
Da gibt es natuerlich einen Haufen Moeglichkeiten. Du musst irgendwie versuchen, den Knick in $0$ glatt zu machen, und das in einer beliebig kleinen Tubenumgebung um den Graphen. Mit Glaettungskernen kann man soetwas machen. Doch ich weiss nicht, ob du das schon kennst. Sonst kannst du es auch von Hand versuchen, etwa mit [mm] $\sqrt{x^2 + \espilon^2}$ [/mm] oder so. Probier es mal aus.
Nicht vergessen:
1) gleichmaessige Kovergenz nachweisen (in Supremumsnorm)
2) Diffbarkeit der Glieder nachweisen
Ich kann mit punktweiser
> Konvergenz mehr anfangen, würde also probieren, ob die
> Folge punktweise konvergiert und dann auf glm Konvergenz
> prüfen.
Punktweise Konvergenz ist schwaecher als gleichmaessige Konvergenz. Letztere besagt, dass die Funktionen punktweise ueberall mit nahezu derselben "Geschwindigkeit" konvergieren. Nur Punktweise Konvergenz kann dazu fuehren, dass die Grenzfunktion nicht mehr stetig ist.
Oder habt ihr ne bessere Idee wie ich die Folge
> finde? Was ist übrigens mit b?
Die b) sollte einfach sein. Sei [mm] $f_n$ [/mm] eine konvergente Teilfolge in dieser Menge. Nachzuweisen ist, ob der Limes wieder im Betrag [mm] $\leq e^x$ [/mm] ist.
> Grüße
> Daniel
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Hallo kornfeld,
also du meinst, ich soll die Funktionenfolge [mm] \wurzel{x^{2}+\varepsilon^{2}} [/mm] untersuchen. Ich frage mich gerade, wo ist denn da das n. Ohne ein n kann doch gar nichts oder? Ich weiß auch nciht so recht, was für eine Funktionenfolge das Gewünschte tut! Bitte noch mal um Hilfe!
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Mo 28.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> also du meinst, ich soll die Funktionenfolge
> [mm]\wurzel{x^{2}+\varepsilon^{2}}[/mm] untersuchen. Ich frage mich
> gerade, wo ist denn da das n. Ohne ein n kann doch gar
> nichts oder?
Ein bisschen Eingenarbeit wäre noch von Nöten - ersetze [m]\varepsilon[/m] durch [m]\bruch{1}{n}[/m] und bastel deine Folge!
> Ich weiß auch nciht so recht, was für eine
> Funktionenfolge das Gewünschte tut! Bitte noch mal um
> Hilfe!
Jetzt eine Idee?
SEcki
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> Hallo kornfeld,
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> also du meinst, ich soll die Funktionenfolge
> [mm]\wurzel{x^{2}+\varepsilon^{2}}[/mm] untersuchen. Ich frage mich
> gerade, wo ist denn da das n. Ohne ein n kann doch gar
> nichts oder? Ich weiß auch nciht so recht, was für eine
> Funktionenfolge das Gewünschte tut! Bitte noch mal um
> Hilfe!
Das $n$ steckt in dem [mm] $\epsilon$, [/mm] das naemlich gegen $0$ laufen soll, genauer gesagt, ist dieses eine Familie von Funktionen. Du kannst fuer [mm] $\epsilon$ [/mm] auch [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] schreiben oder was immer du moechtest. Ueberzeuge dich, dass fuer jedes [mm] $\epsilon$ [/mm] die Funktion in [mm] $C^1$ [/mm] ist UND gleichmaessig gegen die Betragsfunktion konvergiert. Tipp: [mm] $\sqrt{x^2}=\vert [/mm] x [mm] \vert$ [/mm] und versuche [mm] $\frac{1}{\epsilon}\vert \sqrt{x^2 + \epsilon^2} [/mm] - [mm] \sqrt{x^2}\vert$ [/mm] durch eine Konstante abzuschaetzen.
LG Kornfeld
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Hallo, super ich danke euch. Jetzt hab ichs kapiert!
Grüße Daniel
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