Teilmengen Diff.barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Es sei U eine offene Teilmenge [mm] \subset \IR^n.
[/mm]
1. [mm] C^{k+1}(U,\IR^n) \subseteq C^k(U,\IR^n)
[/mm]
2. [mm] \bigcap_{k=0}^{\infty}C^k(U,\IR^n) [/mm] = [mm] C^0(U,\IR^n)
[/mm]
Sind die beiden Aussagen jeweils Wahr oder Falsch? |
Hallo,
Die erste Aussage ist ja völlig klar - die stimmt, weil ja die Menge aller Fktionen die auf U definiert sind, in den [mm] \IR^n [/mm] abbilden und k+1 mal stetig diff.bar sind Teilmenge von der Menge aller Fktionen die auf U definiert sind, in den [mm] \IR^n [/mm] abbilden und k mal stetig diff.bar sind, ist. (weil ja eine Funktion, die k+1 mal differenzierbar ist, auch k mal diff.bar sein muss).
Nun aber zur 2.Aussage, die ist ein bisschen kniffliger:
die linke Seite ist gleichbedeutend mit der Schnittmenge aller Funktionen, die auf einer Teilmenge [mm] \IR^n [/mm] definiert sind in den [mm] \IR^n [/mm] abbilden (:= *) und die 0 bis k mal stetig differenzierbar sind (hm, das war ungeschickt formuliert ich meine natürlich die Schnittmenge aus der Menge der Funktionen die *und nur stetig, aber gar nicht differenzierbar sind mit der Menge der Fkt.en, die * und 1 mal stetig diff.bar sind mit der Menge der Fkt.en die 2 mal stetig diff.bar sind usw. mit der Menge ... die unendlich mal stetig differenzierbar sind) das heißt, dass (jeweils!!) alle ihre n Variablen i mal differenzierbar sind [mm] (i=0,...,\infty) [/mm] und diese Ableitungen alle stetig sind. Diese Schnittmenge ist doch eigentlich die Menge aller Funktionen, die nur stetig aber nicht diff.bar sind, weil die doch eigentlich in allen...nein, halt Moment [mm] C^0 [/mm] heißt ja, dass die Menge gar nicht differenzierbar sein DARF, oder? Das heißt die Schnittmenge ist die leere Menge?
Die rechte Seite ist gleichbedeutend mit: die Menge aller Fkt.en, die * und gar nicht stetig diffbar sind. Das heißt bei meiner allerersten Annahme zur linken Seite würde die Aussage stimmen, ansonsten nicht.
Aber mal eine ganz andere Frage: Die Vereinigungsmenge aller Funktionen, die * und 0 bis k mal stetig diff.bar sind ist doch gleich bedeutend mit [mm] C^\infty, [/mm] oder? Nein, dann müsste ich noch die Schnittmenge abziehen. Nein, aber die Schnittmenge ist ja (nach meiner 2.Annahme ^^) die leere Menge? Jetzt bin ich völlig verwirrt...
Danke für Klärung...
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Du bist da ziemlich durcheinander gekommen. Es ist nach Definition [mm] $$C^\infty(U,\IR^n)=\bigcap_{k\in\IN_0}C^k(U,\IR^n)$$ [/mm] Es sollte nicht schwer sein zu sehen, dass [mm] $C^\infty(U,\IR^n)\subsetneq C^0(U,\IR^n)$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Ja, da bin ich allerdings sehr durcheinander geraten (peinlich... -.-). Die einzelne Bedeutung von den "groß Cs" (gibt es dafür eigentlich auch irgendeinen Namen / speziellen Begriff? dass ich diesen nicht kenne, war auch mein Problem, als ich das nachschlagen, bzw. im Internet danach recherchieren wollte) war mir allerdings schon klar, ich hatte nur Verständnisprobleme bei der Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge (wohl auch weil ich mal wieder übermüdet war). Hab es mir jetzt aufgezeichnet und kann es nachvollziehen  .
Aber noch 2 kleine Fragen, um ganz sicher zu gehn, dass ich es durchblickt habe, hätte ich doch noch:
1. Die Vereinigungsmenge aller Funktionen, die 0 bis k oder sogar 0 bis unendlich mal stetig diffbar sind, ist ja viel größer als die aller nur stetigen Funktionen. Auch da nochmal irgendwas (z.B. die Schnittmenge von irgendwas) abzuziehn würde nicht weiterhelfen => es hat überhaupt keinen Sinn, hier irgendwas mit Vereinigungsmenge hinzuschreiben / wenn so etwas gefragt ist, ist die Aussage praktisch IMMER falsch (?).
2. Die SCHNITTmenge von allen Funktionen, die 0 bis k+1 Mal stetig diff.bar sind ist gleich [mm] C^{k+} [/mm] und die der Funktionen, die k+1 bis unendlich oft stetig diffbar sind = [mm] C^{\infty} [/mm] usw., also unabhängig davon, bei welchem Wert die Schnittmenge anfängt es das Ergebnis immer die Menge mit der größten Potenz.
und wenn nichts über dem Schnittmengenzeichen steht, bedeutet das immer bis Undendlich (oft), oder?
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ja, da bin ich allerdings sehr durcheinander geraten
> (peinlich... -.-). Die einzelne Bedeutung von den "groß
> Cs" (gibt es dafür eigentlich auch irgendeinen Namen /
> speziellen Begriff?
Nö die haben keine speziellen Namen. Einfach [mm] $C^k$="Ze [/mm] Ka"
> dass ich diesen nicht kenne, war auch
> mein Problem, als ich das nachschlagen, bzw. im Internet
> danach recherchieren wollte) war mir allerdings schon klar,
> ich hatte nur Verständnisprobleme bei der Schnitt- bzw.
> Vereinigungsmenge (wohl auch weil ich mal wieder
> übermüdet war). Hab es mir jetzt aufgezeichnet und kann
> es nachvollziehen .
Also normalerweise werden diese Räume definiert kurz nachdem man Differenzierbarkeit definiert. Ich schreib es nochmal hier hin, also man definiert [mm] $C^0(U,\IR^m):=\{f:U\to\IR^m\mid f\text{ stetig}\}$ [/mm] und dann induktiv [mm] $C^{k+1}(U,\IR^m):=\{f\in C^k(U,\IR^m)\mid \partial^sf\text{ existiert und ist stetig für alle }|s|=k+1\}$ [/mm] (Das [mm] $\partial^s [/mm] f$ ist Multiindex-Schreibweise). Ferner setzt man [mm] $C^\infty(U,\IR^m)=\bigcap_{k\in\IN_0}C^k(U,\IR^m$. [/mm] Nach Definition gilt also [mm] $C^{k+1}\subset C^k$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN_0$, [/mm] also insbesondere [mm] $$\bigcup_{k\in\IN_0} C^k(U,\IR^m)=C^0(U,\IR^m).$$ [/mm] Damit dürfte deine erste Frage beantwortet sein.
> 2. Die SCHNITTmenge von allen Funktionen, die 0 bis k+1 Mal
> stetig diff.bar sind ist gleich [mm]C^{k+}[/mm] und die der
> Funktionen, die k+1 bis unendlich oft stetig diffbar sind =
> [mm]C^{\infty}[/mm] usw., also unabhängig davon, bei welchem Wert
> die Schnittmenge anfängt es das Ergebnis immer die Menge
> mit der größten Potenz.
Ja genau, eben weil die Folge der Mengen [mm] $(C^k(U,\IR^m)_{k\in\IN_0}$ [/mm] (streng) monoton fallend ist, d.h. [mm] $k
>
> und wenn nichts über dem Schnittmengenzeichen steht,
> bedeutet das immer bis Undendlich (oft), oder?
Naja das ist jedenfalls kein besonders schöner Stil. In der Regel meint man damit jedoch, dass über den gesamten Indexbereich geschnitten wird, falls das aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und man die Notation nicht unnötig überladen will (ich habe ja auch manchmal einfach [mm] $C^k$ [/mm] geschrieben, obwohl exakt wäre [mm] $C^k(U,\IR^m)$). [/mm] D.h. in unserem Fall die Familie [mm] $(C^k)_{k\in\IN_0}$ [/mm] hat den Indexberech [mm] $\IN_0$ [/mm] und dann bedeutet [mm] $$\bigcup C^k:=\bigcup_k C^k:=\bigcup_{k\in\IN_0}C^k$$
[/mm]
Wie auch immer, du wirst noch oft merken, dass vieles in der Mathematik eine Frage der richtigen Notation ist. Oft ist die Notation genau so angelegt, dass viele sehr tiefe Sätze plötzlich furchtbar trivial aussehen und umgekehrt, wenn man ab einem gewissen Punkt die Notationen nicht vereinfacht (=Informationen unterdrückt), sieht man irgendwann den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Ach verdammt, da hatte ich schon wieder was verwechselt. Ich hab gedacht, die Vereinigungsmenge würde alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, doppelt zählen. Was ja aber nicht der Fall ist, denn Voraussetzung dafür, dass man die Mengen, die man vereinigen will, einfach zusammen zählt, ist, dass die Mengen disjunkt sind. Andernfalls zählt man alle Elemente, die im Durchschnitt enthalten sind, nur einfach (ODER zieht den Durchschnitt wieder ab, ich glaube das war das, was ich in Erinnerung hatte!), also dass ihr Durchschnitt die leere Menge ist. Das war mir nicht klar, bzw. ich hatte es anscheinend wieder vergessen.
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Nicht so kompliziert denken. Die Vereinigung einer Familie von Mengen [mm](M_i)_{i\in I}\subset X[/mm] ist die Menge aller derjenigen Elemente, die in mindestens einer der Mengen liegt, d.h. [mm] $$\bigcup_{i\in I}M_i:=\{x\in X\mid\exists i\in I: x\in M_i\}.$$ [/mm] Desweiteren ist [mm] $$\bigcap_{i\in I}M_i:=\{x\in X\mid \forall i\in I: x\in M_i\}.$$ [/mm] Auch noch nett zu wissen ist das cartesische Produkt [mm] $$\prod_{i\in I}M_i:=\{f:I\to X\mid \forall i\in I:f(i)\in M_i\}$$ [/mm] und das Auswahlaxiom sagt: [mm] $(\forall i\in I:M_i\ne\emptyset)\Rightarrow \prod_{i\in I}M_i\ne\emptyset$ [/mm]
Gruß, Robert
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