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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 25.10.2007 | | Autor: | glebi |
Zu einer Menge E ist die Potenzmenge $ [mm] \beta(E) [/mm] $ gegeben durch
$ [mm] \beta(E) [/mm] $ := {M/M ist eine Teilmenge von E}.
Es seien Teilmengen $ [mm] A,B\subset [/mm] $ E und die Abbildung
f : $ [mm] \beta [/mm] $ (E) $ [mm] \to \beta [/mm] $ (E), M $ [mm] \in \beta [/mm] $ (E) $ [mm] \mapsto [/mm] $ f(M) := (A $ [mm] \cap [/mm] $ M)$ [mm] \cup (B\cap(E \backslash [/mm] M)) $
gegeben.
Wann gibt es eine Teilmenge M mit f(M)= $ [mm] \emptyset [/mm] $ ?
Sooo..ka -.-. kann jemand helfen? =/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 25.10.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
hast du dich möglicherweise bei deiner Angabe von f(M) vertippt? Steht hier wirklich (E)? M würde mir besser gefallen.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Do 25.10.2007 | | Autor: | glebi |
ja tut mir leid. ich habe mich tatsächlich vertippt. hier nochmals komplett:
Zu einer Menge E ist die Potenzmenge $ [mm] \beta(E) [/mm] $ gegeben durch
$ [mm] \beta(E) [/mm] $ := {M/M ist eine Teilmenge von E}.
Es seien Teilmengen $ [mm] A,B\subset [/mm] $ E und die Abbildung
f : $ [mm] \beta [/mm] $ (E) $ [mm] \to \beta [/mm] $ (E), M $ [mm] \in \beta [/mm] $ (E) $ [mm] \mapsto [/mm] $ f(M) := (A $ [mm] \cap [/mm] $ M)
$ [mm] \cup (B\cap(E \backslash [/mm] M)) $ gegeben.
Wann gibt es eine Teilmenge M mit f(M)= $ [mm] \emptyset [/mm] $ ?
so tut mir leid.der tippfehler kam zustande, da ich nicht wusste dass man "backslash" hinter dieses Zeichen schreiben muss [mm] -->\backslash
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Do 25.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
kann es sein,dass es f : [mm]\beta[/mm] (E) [mm]\to \beta[/mm] (E), M [mm]\in \beta[/mm] (E) [mm]\mapsto[/mm] f(M)
> := (A [mm]\cap[/mm] M)
> [mm] \cup(B\cap(E [/mm] \ M )) heißen müsste?
gruß rezzana
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> Zu einer Menge E ist die Potenzmenge [mm]\beta(E)[/mm] gegeben
> durch
>
> [mm]\beta(E)[/mm] := {M/M ist eine Teilmenge von E}.
>
> Es seien Teilmengen [mm]A,B\subset[/mm] E und die Abbildung
>
> f : [mm]\beta[/mm] (E) [mm]\to \beta[/mm] (E), M [mm]\in \beta[/mm] (E) [mm]\mapsto[/mm] f(M)
> := (A [mm]\cap[/mm] M)[mm] \cup (B\cap(E \backslash M))[/mm]
>
> gegeben.
>
> Wann gibt es eine Teilmenge M mit f(M)= [mm]\emptyset[/mm] ?
Hallo,
wann ist (A [mm]\cap[/mm] M)[mm] \cup (B\cap(E \backslash M))[/mm] [mm] =\emptyset?
[/mm]
Wenn kein Element drin liegt.
Also müssen ja A [mm] \cap [/mm] M und [mm] B\cap(E \backslash [/mm] M) beide leer sein.
Denk mal in diese Richtung, und hilf Dir durch Bildchen.
Wenn Du's dann heraushast, ist das zunächst eine Vermutung, die dann zu beweisen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Sa 27.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
dazu habe ich mir jetzt folgendes überlegt:
[mm]B\cap(E \backslash[/mm] M) ergibt leere menge, wenn B in M liegt
A [mm]\cap[/mm] M ergibt leere menge,wenn A und M keine gemeinsamen elemente haben
sind meine überlegungen richtig? und wenn ja: wie gehe ich dann den beweis an?
gruß rezzana
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> hallo!
>
> dazu habe ich mir jetzt folgendes überlegt:
> [mm]B\cap(E \backslash[/mm] M) ergibt leere menge, wenn B in M
> liegt
> A [mm]\cap[/mm] M ergibt leere menge,wenn A und M keine
> gemeinsamen elemente haben
>
> sind meine überlegungen richtig?
Jedenfalls hatte ich mir dasselbe überlegt.
Das bedeutet ja, daß es so eine Menge M nur geben kann, wenn A und B keine gemeinsamen Elemente haben - das entnehme ich meinem Bildchen. (d.h: es gibt ein M mit [mm] f(M)=\emptyset [/mm] ==> [mm] A\cap B=\emptyset)
[/mm]
Ich würde hierfür zeigen, daß, sofern A und B ein gemeinsames Element haben, f(M) für alle M nichtleer ist, das ist ja eine äquivalente Aussage.
Anschließend überlege Dir, welche Menge Du für M in jedem Fall verwenden kannst, wenn [mm] A\cap B=\emptyset [/mm] ist, damit [mm] f(M)=\emptyset [/mm] gilt. (Damit hast Du dann gesichert, daß es wirklich so ein M gibt, also [mm] A\cap B=\emptyset [/mm] ==> [mm] f(M)=\emptyset [/mm] gezeigt.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 27.10.2007 | | Autor: | TheSaint |
>> Ich würde hierfür zeigen, daß, sofern A und B ein
> gemeinsames Element haben, f(M) für alle M nichtleer ist,
> das ist ja eine äquivalente Aussage.
Und wie zeigt man das?
> Anschließend überlege Dir, welche Menge Du für M in jedem
> Fall verwenden kannst, wenn [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] ist, damit
> [mm]f(M)=\emptyset[/mm] gilt. (Damit hast Du dann gesichert, daß es
> wirklich so ein M gibt, also [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] ==>
> [mm]f(M)=\emptyset[/mm] gezeigt.)
>
> Gruß v. Angela
das blick ich net
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 27.10.2007 | | Autor: | glebi |
ditto!!=/ mann
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> >> Ich würde hierfür zeigen, daß, sofern A und B ein
> > gemeinsames Element haben, f(M) für alle M nichtleer ist,
> > das ist ja eine äquivalente Aussage.
>
> Und wie zeigt man das?
Hallo,
Setze voraus, daß es ein Element im Schnitt von A und B gibt, nimm an, es gäbe ein Menge M so, daß f(M) leer ist und versuche, einen Widerspruch zu erzeugen.
Sei also [mm] A\cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset [/mm] und [mm] M\subseteq [/mm] E mit [mm] f(M)=\emptyset.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] a\in A\cap [/mm] B. Diese Element a hat nur zwei Möglichkeiten: entweder, es liegt in M, oder es liegt nicht in M.
Nun schau [mm] f(M)=(A\cap M)\cup (B\cap( [/mm] E \ M) an.
Wenn Du das gezweigt hast, hast Du gezeigt, daß f(M) überhaupt nur dann leer sein KANN, wenn A und B kein gemeinsames Element haben.
Ob Du wirklich eine Menge M findest, für die f(M) leer ist, weißt Du davon noch nicht. Das ist im nächsten Atemzug zu zeigen.
>
> > Anschließend überlege Dir, welche Menge Du für M in jedem
> > Fall verwenden kannst, wenn [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] ist, damit
> > [mm]f(M)=\emptyset[/mm] gilt. (Damit hast Du dann gesichert, daß es
> > wirklich so ein M gibt, also [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] ==>
> > [mm]f(M)=\emptyset[/mm] gezeigt.)
> >
>
> das blick ich net
Ich hoffe, daß Du es jetzt verstehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 28.10.2007 | | Autor: | TheSaint |
> Dann gibt es ein [mm]a\in A\cap[/mm] B. Diese Element a hat nur zwei
> Möglichkeiten: entweder, es liegt in M, oder es liegt nicht
> in M.
>
> Nun schau [mm]f(M)=(A\cap M)\cup (B\cap([/mm] E \ M) an.
>
> Wenn Du das gezweigt hast
also klingt alles schon etwas klarer, aber nur etwas...
Was soll man hier Zeigen? Nun schau [mm]f(M)=(A\cap M)\cup (B\cap([/mm] E \ M) an
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> > Dann gibt es ein [mm]a\in A\cap[/mm] B. Diese Element a hat nur zwei
> > Möglichkeiten: entweder, es liegt in M, oder es liegt nicht
> > in M.
> >
> > Nun schau [mm]f(M)=(A\cap M)\cup (B\cap([/mm] E \ M) an.
> >
> > Wenn Du das gezweigt hast
>
> also klingt alles schon etwas klarer, aber nur etwas...
> Was soll man hier Zeigen?
Daß die Menge unter der gemachten Annahme nichtleer ist.
Guck einmal, was passiert, wenn [mm] a\in [/mm] M.
Dann untersuche den Fall [mm] a\not\in [/mm] M.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 28.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
> > >> Ich würde hierfür zeigen, daß, sofern A und B ein
> > > gemeinsames Element haben, f(M) für alle M nichtleer ist,
> > > das ist ja eine äquivalente Aussage.
> >
> > Und wie zeigt man das?
>
> Hallo,
>
> Setze voraus, daß es ein Element im Schnitt von A und B
> gibt, nimm an, es gäbe ein Menge M so, daß f(M) nichtleer
> ist und versuche, einen Widerspruch zu erzeugen.
>
> Sei also [mm]A\cap[/mm] B [mm]\not=\emptyset[/mm] und [mm]M\subseteq[/mm] E mit
> [mm]f(M)=\emptyset.[/mm]
müsste das in der letzten zeile nicht [mm] \not= [/mm] statt = heißen??
liebe grüße und danke für die mühe!!!
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> > > >> Ich würde hierfür zeigen, daß, sofern A und B ein
> > > > gemeinsames Element haben, f(M) für alle M nichtleer ist,
> > > > das ist ja eine äquivalente Aussage.
> > >
> > > Und wie zeigt man das?
> >
> > Hallo,
> >
> > Setze voraus, daß es ein Element im Schnitt von A und B
> > gibt, nimm an, es gäbe ein Menge M so, daß f(M) nichtleer leer
> > ist und versuche, einen Widerspruch zu erzeugen.
> >
> > Sei also [mm]A\cap[/mm] B [mm]\not=\emptyset[/mm] und [mm]M\subseteq[/mm] E mit
> > [mm]f(M)=\emptyset.[/mm]
>
>
> müsste das in der letzten zeile nicht [mm]\not=[/mm] statt =
> heißen??
Hallo,
nein - aber im Text muß es "leer" heißen! Ich will doch einen Widerspruch erzeugen.
Gut, daß Du es gemerkt hast, das wäre sonst ein ziemlicher Blödsinn. Ich hoffe, ich habe nicht allzuviel Verwirrung gestiftet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Mithilfe der "Bildchen" habe ich gut verstanden, warum für
f(M) = [mm] \emptyset
[/mm]
gelten muss, dass A und B kein gemeinsames Element haben. Ich versuche jetzt schon seit mehreren Tagen das ganze in eine mathematisch korrekte Implikation zu packen, es gelingt mir aber einfach nicht.
Ich bin so weit:
Sei [mm] A\cap [/mm] B [mm] \ne \emptyset \Rightarrow [/mm] f(M) = [mm] \emptyset
[/mm]
es existiert ein x [mm] \in A\cap [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] es existiert ein x [mm] \in [/mm] A und es existiert ein x [mm] \in [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) und y [mm] \in [/mm] f(B)
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in f(A)\cap [/mm] f(B)
Kann ich daraus, dass ein y in f(A) und in f(B) liegt, schließen, dass f(M) nicht leer sein kann, weil dafür
[mm] A\cap [/mm] M
und
[mm] B\cap [/mm] (E \ M)
leer sein müssten?
Ich glaube logisch ist mir die Aufgabe klar, ich bekomme nur keinen vernünftigen Schluss hin. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
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> Hallo!
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> Mithilfe der "Bildchen" habe ich gut verstanden, warum für
> f(M) = [mm]\emptyset[/mm]
> gelten muss, dass A und B kein gemeinsames Element haben.
Hallo,
Dir ist also die Aussage [mm] f(M)=\emptyset [/mm] ==> [mm] A\cap B=\emptyset [/mm] anschaulich klar.
> Ich versuche jetzt schon seit mehreren Tagen das ganze in
> eine mathematisch korrekte Implikation zu packen, es
> gelingt mir aber einfach nicht.
> Ich bin so weit:
> Sei [mm]A\cap[/mm] B [mm]\ne \emptyset \Rightarrow[/mm] f(M) = [mm]\emptyset[/mm]
Das ist verkehrt, möglicherweise ist es nur ein Tippfehler, vielleicht aber auch mehr.
Du hattest herausgefunden (s.o) daß, sofern f(M) leer ist, auch [mm] A\cap [/mm] B leer ist.
Anders ausgedrückt: wenn [mm] A\cap [/mm] B nichtleer ist, muß auch f(M) nichtleer sein, in Zeichen:
[mm] A\cap B\not= \emptyset [/mm] ==> [mm] f(M)\not=\emptyset.
[/mm]
Ah - dem weiteren Studium Deines Textes entnehme ich, daß Du wirklcih nur einen Tippfehler hattest.
Zum Beweis:
zu zeigen: [mm] A\cap B\not= \emptyset [/mm] ==> [mm] f(M)\not=\emptyset
[/mm]
Sei [mm] x\in A\cap [/mm] B.
Nun betrachte [mm] f(M)=(A\cap [/mm] M) [mm] \cup (B\cap [/mm] $ (E \ M) )
1. Fall: [mm] x\in [/mm] M
Dann ist eine der beiden Mengen, die vereinigt weren nichtleer. Welche?
2. Fall: [mm] x\not\in [/mm] M.
Dann ist x im Komplement, und eine der beiden Mengen, die vereinigt werden, ist nichtleer.
Ich denke, jetzt bekommtst Du es hin. (Das Prinzip hatte ich in den anderen Posts ja schon angedeutet - nur hatte ich da einen Widerspruchsbeweis angestrebt, was ja überflüssig ist, wie man sieht.)
Wenn Du das gezeigt hast, bist Du aber noch nicht fertig. Du hast dann gezeigt, daß die Menge f(M) überhaupt nur leer sein KANN, wenn die Schnittmenge von A und B leer ist.
In Deiner Aufgabenstellung ist aber gefordert, daß Du die Existenz eines solchen M zeigen mußt.
Gehe hierfür davon aus, daß [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \emptyset [/mm] (sonst bräuchstest Du gar nicht zu suchen) und gibt eine Menge M an mit [mm] f(M)=\emptyset.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 29.10.2007 | | Autor: | TheSaint |
>Gehe hierfür davon aus, daß [mm] B=\emptyset [/mm] (sonst bräuchstest Du gar nicht zu suchen) und gibt eine Menge M an mit [mm] f(M)=\emptyset
[/mm]
Verstehe ich nicht, wie soll man da eine Menge M angeben. Wenn [mm] A\cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm] und wir davon ausgehen, dass jetzt ja nachgeweisen ist, dass auch f(M) leer sein kann...
aber wie argumentiert man damit jetzt, denn bisher hat man immer angefangen Sei [mm] x\in [/mm] ... oder [mm] y\in [/mm] ...
Kann mir jemand weiterhelfen?
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> >Gehe hierfür davon aus, daß [mm]B=\emptyset[/mm] (sonst
> bräuchstest Du gar nicht zu suchen) und gibt eine Menge M
> an mit [mm]f(M)=\emptyset[/mm]
Hallo,
Du zitierst mich falsch. Ich schrieb: gehe hierfür davon aus, daß [mm] A\cap B=\emptyset.
[/mm]
>
> Verstehe ich nicht, wie soll man da eine Menge M angeben.
> Wenn [mm]A\cap[/mm] B [mm]=\emptyset[/mm] und wir davon ausgehen, dass jetzt
> ja nachgeweisen ist, dass auch f(M) leer sein kann...
Du sagst es genau richtig. Nur unter dieser Voraussetzung KANN es eine Menge M geben mit [mm] f(M)=\emptyset.
[/mm]
>
> aber wie argumentiert man damit jetzt, denn bisher hat man
> immer angefangen Sei [mm]x\in[/mm] ... oder [mm]y\in[/mm] ...
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Hast Du den Thread eigentlich gelesen? Ich habe mindestens zweimal erklärt, wie das zu tun ist
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 29.10.2007 | | Autor: | froggie |
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> Gehe hierfür davon aus, daß [mm]A\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] (sonst
> bräuchstest Du gar nicht zu suchen) und gibt eine Menge M
> an mit A [mm] \cap [/mm] B [mm]f(M)=\emptyset.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
>
das verstehe ich auch nicht "gibt eine menge M an", soll ich aus a [mm] \cap [/mm] B = nichtleer folgern und dass es eine Menge M gibt?
Ich versteh irgendwie nicht was ich mit A [mm] \cap [/mm] B =nichtleer machen soll... hab auch alle anderen threads gelesen, aber ich weiß nicht worauf du hinaus willst :(
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> >
> > Gehe hierfür davon aus, daß [mm]A\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] (sonst
> > bräuchstest Du gar nicht zu suchen) und gibt eine Menge M
> > an mit A [mm]\cap[/mm] B [mm]f(M)=\emptyset.[/mm]
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> das verstehe ich auch nicht "gibt eine menge M an", soll
> ich aus a [mm]\cap[/mm] B = nichtleer folgern und dass es eine Menge
> M gibt?
>
> Ich versteh irgendwie nicht was ich mit A [mm]\cap[/mm] B =nichtleer
> machen soll... hab auch alle anderen threads gelesen, aber
> ich weiß nicht worauf du hinaus willst :(
Hallo,
das mit dem "zweimal geschrieben" muß ich zurücknehmen, es war etwas anderes, was ich zweimal geschrieben habe.
Paß auf: Du suchst ja jetzt eine konkrete Menge, welche in der gegebenen Situation mit Sicherheit existiert.
Jetzt teste doch einfach mal auf gut Glück, ob es mit [mm] M:=\emptyset, [/mm] M:=A oder M:=B klappt.
Gruß v. Angela
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