Teilmenge l^2 nicht abgeschl. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die beiden Unterräume [mm] U=\{(x_n) \in l^2|x_{2n}=0 \forall n \in \mathbb{N}\} [/mm] und [mm] V=\{(x_n) \in l^2|x_{2n-1}=nx_{2n} \forall n \in \mathbb{N}\}.
[/mm]
Zeige: Die direkte Summe U [mm] \oplus [/mm] V ist nicht abgeschlossen in [mm] (l^2,||.||_2) [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=503782
Ich hatte die Frage hier bereits gepostet und dort auch angegeben, was ich bisher versucht hatte, aber bisher keine Antwort erhalten und da mein Thread dort trotz des Pushs heute Mittag bereits auf die zweite Seite abgesunken ist, gehe ich davon aus, dass man mir dort wohl nicht helfen kann.
Daher wende ich mich jetzt an euch, in der Hoffnung, dass mir hier jemand helfen kann. Danke dafür im Voraus. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 28.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Feuerkerk,
> Gegeben sind die beiden Unterräume [mm]U=\{(x_n) \in l^2|x_{2n}=0 \forall n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> und [mm]V=\{(x_n) \in l^2|x_{2n-1}=nx_{2n} \forall n \in \mathbb{N}\}.[/mm]
>
> Zeige: Die direkte Summe U [mm]\oplus[/mm] V ist nicht abgeschlossen
> in [mm](l^2,||.||_2)[/mm]
Du mußt eine Folge von Folgen in $U [mm] \oplus [/mm] V$ angeben, die gegen eine Folge [mm] $x\in \ell^2\setminus U\oplus [/mm] V$ konvergiert. Hierbei ist es erfolgversprechend, Folgen in [mm] $U\oplus [/mm] V$ zu untersuchen, die nur an endliche vielen Stellen ungleich Null sind. Deine Beispielfolge aus dem anderen Forum ist so eine, liegt aber nicht in [mm] $U\oplus V\;.$
[/mm]
Mir fällt auf die Schnelle auch keine passende Folge von Folgen ein.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Sicher, dass meine Beispielfolge nicht in U+V liegt? Wie in dem anderen Forum gesagt, wurde als Tipp gegeben, dass alle Folgen, bei denen nur endlich viele Einträge nicht 0 sind, in U+V liegen.
Das Problem bei der Folge ist nur, dass sie meiner Meinung nach durchaus in U+V konvergiert, wodurch sie eben kein Beispiel für die Nicht-Abgeschlossenheit ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:08 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sicher, dass meine Beispielfolge nicht in U+V liegt? Wie in
> dem anderen Forum gesagt, wurde als Tipp gegeben, dass alle
> Folgen, bei denen nur endlich viele Einträge nicht 0 sind,
> in U+V liegen.
Nein, ich bin mir nicht sicher. Stelle aber mal Deine endliche Folge als Summe einer Folge aus U und einer Folge aus V dar. Die Grenzfolge wird sich dann nicht mehr so darstellen lassen, da der Grenzwert der V-Folgen gar nicht in [mm] $\ell^2$ [/mm] liegt. Ich bin mir ziemlich sicher, daß dieser Weg erfolgreich ist.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Gegeben sind die beiden Unterräume [mm]U=\{(x_n) \in l^2|x_{2n}=0 \forall n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> und [mm]V=\{(x_n) \in l^2|x_{2n-1}=nx_{2n} \forall n \in \mathbb{N}\}.[/mm]
>
> Zeige: Die direkte Summe U [mm]\oplus[/mm] V ist nicht abgeschlossen
> in [mm](l^2,||.||_2)[/mm]
Sei [mm] $x^{(n)}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x^{(n)}_k [/mm] = 1/k$ für [mm] $k\le [/mm] n$ und [mm] $x^{(n)}_k=0$ [/mm] sonst.
Es gibt eindeutig bestimmte [mm] $u^{(n)}\in [/mm] U$ und [mm] $v^{(n)}\in [/mm] V$ mit [mm] $x^{(n)} [/mm] = [mm] u^{(n)}+v^{(n)}\;.$ [/mm] Es folgt [mm] $v^{(n)}_{2k-1} [/mm] = 1/2$ für $2k-1 < n$. Und jetzt Du.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
[mm] (x^{(n)})_n [/mm] konvergiert gegen [mm] (x_j)_j \in l^2 [/mm] mit [mm] x_j=\frac{1}{j}
[/mm]
Ließe sich diese Grenzfolge als Summe einer Folge in U und einer in V darstellen, wäre das die Summe der Grenzfolgen von [mm] u^{(n)} [/mm] bzw. [mm] v^{(n)}. [/mm] Diese Grenzfolgen existieren aber gar nicht, weil für eine hypothetische Grenzfolge [mm] (v_k)_k [/mm] von bspw. [mm] v^{(n)} [/mm] gelten würde: [mm] v_{2k-1}=\frac{1}{2} [/mm] für alle k [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] Also wäre dies keine Nullfolge, wodurch die Reihe über die Quadrate der Folgenglieder (das Quadrieren ändert hier nichts) divergieren würde; dies widerspricht der Tatsache, dass die besagte Grenzfolge in [mm] l^2 [/mm] liegen müsste.
Ist das so richtig weiterargumentiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Feuerkerk,
>
> [mm](x^{(n)})_n[/mm] konvergiert gegen [mm](x_j)_j \in l^2[/mm] mit
> [mm]x_j=\frac{1}{j}[/mm]
> Ließe sich diese Grenzfolge als Summe einer Folge in U
> und einer in V darstellen, wäre das die Summe der
> Grenzfolgen von [mm]u^{(n)}[/mm] bzw. [mm]v^{(n)}.[/mm] Diese Grenzfolgen
> existieren aber gar nicht, weil für eine hypothetische
> Grenzfolge [mm](v_k)_k[/mm] von bspw. [mm]v^{(n)}[/mm] gelten würde:
> [mm]v_{2k-1}=\frac{1}{2}[/mm] für alle k [mm]\in \mathbb{N}.[/mm] Also wäre
> dies keine Nullfolge, wodurch die Reihe über die Quadrate
> der Folgenglieder (das Quadrieren ändert hier nichts)
> divergieren würde; dies widerspricht der Tatsache, dass
> die besagte Grenzfolge in [mm]l^2[/mm] liegen müsste.
>
> Ist das so richtig weiterargumentiert?
Gute Frage!
Wir haben eine direkte Summe [mm] $U\oplus [/mm] V$ und eine konvergente Folge [mm] $(u_n+v_n),\;u_n\in [/mm] U, [mm] v_n\in [/mm] V$ mit Grenzwert $x$. Weiter wissen wir, daß [mm] $v_n$ [/mm] nicht konvergiert. Folgt daraus, daß $x$ nicht in [mm] $U\oplus [/mm] V$ liegt? Das Ganze in [mm] $\ell^2\;.$
[/mm]
Wir wissen schon, daß $U$ und $V$ abgeschlossen sind, und sollen zeigen, daß [mm] $U\oplus [/mm] V$ nicht abgeschlossen ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Hallo Wolfgang,
ich denke nicht, dass man direkt aus der Tatsache, dass [mm] v_n [/mm] nicht konvergiert [mm] (u_n [/mm] übrigens auch nicht) schließen kann, dass x nicht in U [mm] \oplus [/mm] V liegt; wenn doch ist mir jedenfalls nicht ersichtlich, wie.
Wie man hier die Abgeschlossenheit von U und V verwenden könnte, oder dass U [mm] \oplus [/mm] V direkt ist, weiß ich auch nicht so genau.
Man könnte natürlich annehmen, dass x=u+v mit gewissen u [mm] \in [/mm] U, v [mm] \in [/mm] V ist und versuchen, das zum Widerspruch zu führen. Hierzu könnte man zwei Folgen [mm] a_n [/mm] in U und [mm] b_n [/mm] in V betrachten, die gegen u bzw. v konvergieren - das scheint mir nach mehreren erfolglosen Versuchen aber nicht zielführend. Man müsste irgendwie darauf schließen können, dass (ab einem gewissen Index) [mm] a_n+b_n=x [/mm] ist oder so, dann könnte man die Direktheit der Summe ausnutzen und [mm] a_n=u_n, b_n=v_n [/mm] vielleicht zumindest ab einem gewissen Folgenindex folgern, was den Widerspruch ergäbe. Das Problem ist: das kann man meines Erachtens nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Ich glaub, ich hab es:
Angenommen, [mm] $U\oplus [/mm] V$ wäre abgeschlossen.
Dann ist [mm] $U\oplus [/mm] V$ als abgeschlossener Teilraum des Banachraumes [mm] $\ell^2$ [/mm] ebenfalls ein Banachraum und weil [mm] $u_n+v_n$ [/mm] konvergiert, gibt es [mm] $u\in [/mm] U, [mm] v\in [/mm] V$ mit [mm] $u_n [/mm] + [mm] v_n \to [/mm] u + v$. Da $U$ und $V$ abgeschlossene Teilräume des Banachraumes [mm] $U\oplus [/mm] V$ sind, ist die Projektion [mm] $U\oplus V\to [/mm] V, [mm] x+y\mapsto [/mm] y$ stetig. Hieraus folgt [mm] $v_n\to v\;.$ [/mm] Widerspruch!
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
was genau ist die Projektion entlang U auf V? Wir haben zwar Orthogonalprojektionen behandelt, aber meines Wissens nicht deren Stetigkeit auf abgeschlossenen Unterräumen gezeigt. Kann man [mm] v_n [/mm] -> v noch anders zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Di 30.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> was genau ist die Projektion entlang U auf V?
Die aus der linearen Algebra bekannte Projektion, [mm] $P\colon U\oplus V\to [/mm] V, [mm] u+v\mapsto v\;.$
[/mm]
> Wir haben
> zwar Orthogonalprojektionen behandelt, aber meines Wissens
> nicht deren Stetigkeit auf abgeschlossenen Unterräumen
> gezeigt. Kann man [mm]v_n[/mm] -> v noch anders zeigen?
Man vielleicht ja, ich nein. Aber den kurzen Beweis dazu findest Du in ![[]](/images/popup.gif) Wolfgang Arendt, Funktionalanalysis, Uni Ulm, pp. 64, 65.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Ok, dann vielen Dank für die Hilfe! 
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