Teilmenge eines affinen Raumes < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Fr 04.05.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IB [/mm] := (B,V) ein affiner Raum über einem Körper K, wobei #K [mm] \ge [/mm] 3.
Zeigen Sie: Enthält eine Teilmenge X [mm] \not= \emptyset [/mm] von [mm] \IB [/mm] mit je zwei verschiedenen Punkten auch die Gerade durch diese Punkte, so ist X affiner K-Unterraum von [mm] \IB [/mm] |
Ich habe das Gefühl, ich muss irgendwie zeigen, dass es unendlich viele Elemente x [mm] \in [/mm] X, v [mm] \in [/mm] V gibt, mit v+x=y.
Dann hätte ich doch die Gerade.
Ferner: Unterraum ist X von [mm] \IB [/mm] dann, wenn 0 [mm] \in [/mm] X und für alle x1, x2 gilt x1+x2 [mm] \in [/mm] X und rx [mm] \in [/mm] X (r [mm] \in [/mm] K) (Unterraumkriterium.)
Ist das ein richtiger Ansatz? Wenn ja, wie übertrage ich den auf die Aufgabe?
Vielen Dank und Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die Bedingung an X besagt:
Nimmst Du zwei beliebige Punkte [mm] $x_1 \not= x_2 \in [/mm] X$,
so liegt die Gerade G durch diese zwei Punkte ganz in X.
Zu zeigen ist, dass X dann ein affiner Unterraum ist.
Affine Räume sind (i. A.) keine Vektorräume.
Du kannst Dir einen affinen Raum so vorstellen, dass Du einen Untervektorraum um einen Vektor verschiebst.
Z.B. sind Lösungsmengen von:
Ax=v (A Matrix und [mm] v\not= [/mm] 0 Vektor) affine Räume, die keine Untervektorräume sind, oder in Worten:
Die Lösungen inhomogener LGS sind affine Unterräume.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Gib doch mal Eure Definition eines affinen Teilraumes an.
Höchstwahrscheinlich musst Du zeigen,
dass zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ und jeder Gerade $G [mm] \subset [/mm] X$ auch die zu G parallele Gerade H durch den Punkt x ganz in X liegt. ($H [mm] \subset [/mm] X$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Vielen Dank!
Das ist mir noch so ganz klar - wie muss ich mir das vorstellen.
Ich habe lediglich unsere Def des affinen Raumes s.u. - (habe ich auch bei der anderen Frage an Angela geschrieben)
Die Teilmengen affiner Räume müssten doch eigentlich Unterräume sein und es gilt per Def. für zwei aff. Unterräume (B.U) und C,W) von (A,V), dass sie parallel sind, wenn U [mm] \subseteq [/mm] W und W [mm] \subseteq [/mm] U.
Könnte ich damit was anfangen? Bspw. zeigen, dass sie dann ja auch lin. abhängig sind?
Ein affiner Raum [mm] \IA [/mm] ist bei uns wie folgt definiert: Ein geordnetes Paar (A,V) mit einer nicht leeren Menge A uns einem K Vektorraum, dessen zu Grunde liegende abelsche Gruppe einfach transitiv auf A operiert.
Es gibt dann ein v [mm] \in [/mm] V mit der Eigenschaft v+a=b v wird auch mit [mm] \vec{ab} [/mm] bezeichnet, so dass gilt:
[mm] \vec{ab} [/mm] + a = b
Ferner ist: dim [mm] \IA [/mm] = rang von V.
Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:10 So 06.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> Die Teilmengen affiner Räume müssten doch eigentlich
> Unterräume sein
Es sind letztendlich um einen Vektor verschobene Untervektorräume.
> Könnte ich damit was anfangen? Bspw. zeigen, dass sie dann
> ja auch lin. abhängig sind?
Es gibt übrigens auch den Begriff der affinen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von (affinen) Punktmengen ... (der ist ein bisschen anders als der bei Vektorräumen)
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