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| Aufgabe | Bekanntlich ist die folgende Menge ein Vektorraum:
[mm] C^{0}[0,1] [/mm] = {f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] | f stetig}.
Sei U die Teilmenge von Funktionen, die in [0,1] mindestens eine Nullstelle besitzen.
Ist U ein Unterraum von [mm] C^{0}[0,1] [/mm] ?
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Guten Tag,
Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen... :(
Leider habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe anpacken soll :(
Da es sich um stetige Funktionen handelt, denke ich schon, dass U ein Unterraum ist, aber wie begründe ich das?
Vielen Dank... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Ladon |
Überprüfe doch einfach die zugehörige Definition eines  Untervektorraums, d.h.
1.) der "Nullvektor" von [mm] C^0[0,1] [/mm] ex. in dieser Teilmenge.
2.) ist $f$ in dieser Teilmenge, dann auch alle Vielfachen.
3.) für je zwei Abbildungen aus dieser Teilmenge ist auch deren Summe in der besagten Teilmenge.
In obigen Link findest du sogar ein Beispiel einer Teilmenge von [mm] $Abb(\IR,\IR)$, [/mm] die ein Untervektorraum ist.
MfG
Ladon
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> Überprüfe doch einfach die zugehörige Definition eines
> Untervektorraums, d.h.
Ja, mit diesem Kriterium tue ich mir noch etwas schwer
> 1.) der "Nullvektor" von [mm]C^0[0,1][/mm] ex. in dieser
> Teilmenge.
Also da f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] die Nullabbildung besitzt und U im Bereich definiert ist, liegt auch der Nullvektor in U?
> 2.) ist [mm]f[/mm] in dieser Teilmenge, dann auch alle Vielfachen.
[mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] U mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt doch nicht, dass diese auch in U liegen oder? Die Nullstellen verschjeden sich doch. Bspw. wenn an der Stelle x = 0,5 eine Nullstelle ist und ich wähle [mm] \lambda [/mm] = 10, dann liegt sie nicht mehr in diesem Intervall von 0,1
> 3.) für je zwei Abbildungen aus dieser Teilmenge ist auch
> deren Summe in der besagten Teilmenge.
Die Summe verstehe ich nicht wie ich das genau, bei dieser Aufgabe aufschreiben soll -
nehme ich da etwa f [mm] \in [/mm] U und g [mm] \in [/mm] U und zeige das f + g [mm] \in [/mm] U ist?
Aber können die Nullstellen durch die Addition nicht auch außerhalb des Intervalls verschoben werden?
> In obigen Link findest du sogar ein Beispiel einer
> Teilmenge von [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm], die ein Untervektorraum ist.
>
> MfG
> Ladon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Überprüfe doch einfach die zugehörige Definition eines
> > Untervektorraums, d.h.
>
> Ja, mit diesem Kriterium tue ich mir noch etwas schwer
>
> > 1.) der "Nullvektor" von [mm]C^0[0,1][/mm] ex. in dieser
> > Teilmenge.
>
> Also da f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] die Nullabbildung besitzt und U
> im Bereich definiert ist, liegt auch der Nullvektor in U?
na, der *Nullvektor* [mm] $N_V\,$ [/mm] aus [mm] $C^0[0,1]$ [/mm] ist nichts anderes als
[mm] $N_V \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $N_V(x):=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Nun ist die Frage: Gehört [mm] $N_V$ [/mm] auch zu U? Die Antwort: Ja, denn [mm] $N_V$ [/mm] hat mindestens
eine Nullstelle, bspw. ist [mm] $x_0:=\text{ ? } \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $N_V(x_0)=0\,.$
[/mm]
(Ergänze das Fragezeichen, ganz, wie es Dir beliebt, aber so, dass es auch
sinnig im Hinblick auf die Aufgabe bleibt!)
> > 2.) ist [mm]f[/mm] in dieser Teilmenge, dann auch alle Vielfachen.
>
> [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] U mit [mm]\lambda \in \IR[/mm] gilt doch nicht, dass
> diese auch in U liegen oder? Die Nullstellen verschjeden
> sich doch. Bspw. wenn an der Stelle x = 0,5 eine Nullstelle
> ist und ich wähle [mm]\lambda[/mm] = 10, dann liegt sie nicht mehr
> in diesem Intervall von 0,1
Na, nicht die Nullstelle wird vervielfacht, sondern der Funktionswert an
dieser.
Genauer: Für $g [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] und [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] wird
[mm] $(\alpha [/mm] * g) [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$
[/mm]
definiert durch [mm] $(\alpha*g)(x):=\alpha*(g(x))$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$. Dann ist auch
die Funktion [mm] $(\alpha*g) \in C^0[0,1]$.
[/mm]
Diese *skalare Multiplikation* wird auf U *vererbt*.
Es ist also nur noch die Frage: Wenn $f$ in [mm] $U\,:$ [/mm] Ist dann auch stets [mm] $(\alpha*f)\in [/mm] U$?
$f [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] und [mm] $(\alpha*f) \in C^0[0,1]$ [/mm] ist schon klar. Aus $f [mm] \in [/mm] U$ folgt
zudem: Es gibt ein [mm] $x_N \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $f(x_N)=0\,.$ [/mm]
Frage ist nun: Gibt es auch ein [mm] $t_N \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $(\alpha*f)(t_N)=0$? [/mm] Falls ja,
so ist per Def. [mm] $(\alpha [/mm] f) [mm] \in [/mm] U$ bewiesen.
Hinweis: Betrachte [mm] $(\alpha*f)(t_N)$ [/mm] mit [mm] $t_N:=x_N\,.$
[/mm]
> > 3.) für je zwei Abbildungen aus dieser Teilmenge ist auch
> > deren Summe in der besagten Teilmenge.
>
> Die Summe verstehe ich nicht wie ich das genau, bei dieser
> Aufgabe aufschreiben soll -
> nehme ich da etwa f [mm]\in[/mm] U und g [mm]\in[/mm] U und zeige das f + g
> [mm]\in[/mm] U ist?
Ja.
> Aber können die Nullstellen durch die Addition nicht auch
> außerhalb des Intervalls verschoben werden?
Nicht die Nullstellen werden addiert; das ist der gleiche Gedankenfehler wie
oben. Um es knapp zu machen:
Das hier wird schiefgehen.
Der Grund ist, dass die Nullstellen zweier Funktionen nicht aufeinanderfallen
müssen - wir demonstrieren es genauer:
Betrachte bspw. $f(x):=x$ und $g(x):=1-x$ beide als Abbildungen $[0,1] [mm] \to \IR$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank schon mal für deine Mühe :)
>
> na, der *Nullvektor* [mm]N_V\,[/mm] aus [mm]C^0[0,1][/mm] ist nichts anderes
> als
>
> [mm]N_V \colon [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]N_V(x):=0[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm].
>
>
> Nun ist die Frage: Gehört [mm]N_V[/mm] auch zu U? Die Antwort: Ja,
> denn [mm]N_V[/mm] hat mindestens
> eine Nullstelle, bspw. ist [mm] x_0:= [/mm] ? x [mm] \in [/mm] [0,1] mit [mm] N_V(x_0)=0 [/mm] ??? (denn im Grunde müssten doch alle Zahlen zwischen 0 und 1 funktionieren, oder???
> (Ergänze das Fragezeichen, ganz, wie es Dir beliebt, aber
> so, dass es auch
> sinnig im Hinblick auf die Aufgabe bleibt!)
>
> > > 2.) ist [mm]f[/mm] in dieser Teilmenge, dann auch alle Vielfachen.
>
> Na, nicht die Nullstelle wird vervielfacht, sondern der
> Funktionswert an
> dieser.
>
> Genauer: Für [mm]g \in C^0[0,1][/mm] und [mm]\alpha \in \IR[/mm] wird
>
> [mm](\alpha * g) \colon [0,1] \to \IR[/mm]
>
> definiert durch [mm](\alpha*g)(x):=\alpha*(g(x))[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm].
> Dann ist auch
> die Funktion [mm](\alpha*g) \in C^0[0,1][/mm].
>
> Diese *skalare Multiplikation* wird auf U *vererbt*.
>
> Es ist also nur noch die Frage: Wenn [mm]f[/mm] in [mm]U\,:[/mm] Ist dann
> auch stets [mm](\alpha*f)\in U[/mm]?
>
> [mm]f \in C^0[0,1][/mm] und [mm](\alpha*f) \in C^0[0,1][/mm] ist schon klar.
> Aus [mm]f \in U[/mm] folgt
> zudem: Es gibt ein [mm]x_N \in [0,1][/mm] mit [mm]f(x_N)=0\,.[/mm]
>
> Frage ist nun: Gibt es auch ein [mm]t_N \in [0,1][/mm] mit
> [mm](\alpha*f)(t_N)=0[/mm]? Falls ja,
> so ist per Def. [mm](\alpha f) \in U[/mm] bewiesen.
>
> Hinweis: Betrachte [mm](\alpha*f)(t_N)[/mm] mit [mm]t_N:=x_N\,.[/mm]
Also wenn [mm] x_N [/mm] := [mm] t_N \Rightarrow (\alpha*f)(t_N)=(\alpha*f)(x_N)=\alpha(f(x_N)) [/mm] und da es ein [mm] x_N \in [/mm] [0,1] mit [mm] f(x_N)=0 [/mm] gilt auch [mm] \alpha*0=0 [/mm] und liegt somit auch in U?
> > > 3.) für je zwei Abbildungen aus dieser Teilmenge ist auch
> > > deren Summe in der besagten Teilmenge.
> >
> > Die Summe verstehe ich nicht wie ich das genau, bei dieser
> > Aufgabe aufschreiben soll -
> > nehme ich da etwa f [mm]\in[/mm] U und g [mm]\in[/mm] U und zeige das f +
> g
> > [mm]\in[/mm] U ist?
>
> Ja.
>
> > Aber können die Nullstellen durch die Addition nicht auch
> > außerhalb des Intervalls verschoben werden?
>
> Nicht die Nullstellen werden addiert; das ist der gleiche
> Gedankenfehler wie
> oben. Um es knapp zu machen:
> Das hier wird schiefgehen.
>
> Der Grund ist, dass die Nullstellen zweier Funktionen nicht
> aufeinanderfallen
> müssen - wir demonstrieren es genauer:
>
> Betrachte bspw. [mm]f(x):=x[/mm] und [mm]g(x):=1-x[/mm] beide als Abbildungen
> [mm][0,1] \to \IR[/mm].
Achso würde ich also nun x + (1-x) addieren käme 1 heraus und diese Funktion besitzt überhaupt keine Nullstelle und liegt daher auch nicht in U?
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank schon mal für deine Mühe :)
dafür sind wir ja da. 
> >
> > na, der *Nullvektor* [mm]N_V\,[/mm] aus [mm]C^0[0,1][/mm] ist nichts anderes
> > als
> >
> > [mm]N_V \colon [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]N_V(x):=0[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm].
>
> >
> >
> > Nun ist die Frage: Gehört [mm]N_V[/mm] auch zu U? Die Antwort: Ja,
> > denn [mm]N_V[/mm] hat mindestens
> > eine Nullstelle, bspw. ist [mm]x_0:=[/mm] ?
> x [mm]\in[/mm] [0,1] mit
> [mm]N_V(x_0)=0[/mm] ??? (denn im Grunde müssten doch alle Zahlen
> zwischen 0 und 1 funktionieren, oder???
Ja, aber Du kannst da ganz konkret werden, bspw. [mm] $x_0=0$ [/mm] wählen. Denn: Du
musst ja nur zeigen, dass (mindestens) EIN [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $N_V(x_0)=0$ [/mm] existiert!
> > (Ergänze das Fragezeichen, ganz, wie es Dir beliebt,
> aber
> > so, dass es auch
> > sinnig im Hinblick auf die Aufgabe bleibt!)
> >
> > > > 2.) ist [mm]f[/mm] in dieser Teilmenge, dann auch alle Vielfachen.
> >
> > Na, nicht die Nullstelle wird vervielfacht, sondern der
> > Funktionswert an
> > dieser.
> >
> > Genauer: Für [mm]g \in C^0[0,1][/mm] und [mm]\alpha \in \IR[/mm] wird
> >
> > [mm](\alpha * g) \colon [0,1] \to \IR[/mm]
> >
> > definiert durch [mm](\alpha*g)(x):=\alpha*(g(x))[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm].
> > Dann ist auch
> > die Funktion [mm](\alpha*g) \in C^0[0,1][/mm].
> >
> > Diese *skalare Multiplikation* wird auf U *vererbt*.
> >
> > Es ist also nur noch die Frage: Wenn [mm]f[/mm] in [mm]U\,:[/mm] Ist dann
> > auch stets [mm](\alpha*f)\in U[/mm]?
> >
> > [mm]f \in C^0[0,1][/mm] und [mm](\alpha*f) \in C^0[0,1][/mm] ist schon klar.
> > Aus [mm]f \in U[/mm] folgt
> > zudem: Es gibt ein [mm]x_N \in [0,1][/mm] mit [mm]f(x_N)=0\,.[/mm]
> >
> > Frage ist nun: Gibt es auch ein [mm]t_N \in [0,1][/mm] mit
> > [mm](\alpha*f)(t_N)=0[/mm]? Falls ja,
> > so ist per Def. [mm](\alpha f) \in U[/mm] bewiesen.
> >
> > Hinweis: Betrachte [mm](\alpha*f)(t_N)[/mm] mit [mm]t_N:=x_N\,.[/mm]
>
> Also wenn [mm]x_N[/mm] := [mm]t_N [/mm]
[mm] $t_N$ [/mm] muss definiert werden, [mm] $x_N$ [/mm] ist "vorgegeben"; der Doppelpunkt gehört also
auf die andere Seite!
> [mm]\Rightarrow (\alpha*f)(t_N)=(\alpha*f)(x_N)=\alpha(f(x_N))[/mm]
Das, was am Ende steht, ist nicht falsch - aber ich hoffe, Du meinst nicht
"Alpha von [mm] $f(x_N)$" [/mm] (das wäre falsch); sondern "Alpha mal [mm] $f(x_N)$"
[/mm]
> und da es ein [mm]x_N \in[/mm] [0,1] mit [mm]f(x_N)=0[/mm] gilt auch
> [mm]\alpha*0=0[/mm] und liegt somit auch in U?
Deine Argumentationskette ist ein wenig durcheinander: Aus [mm] $x_N \in [/mm] [0,1]$ mit
[mm] $f(x_N)=0$ [/mm] folgt, wenn man [mm] $t_N:=x_N$ [/mm] setzt, auch
[mm] $(\alpha*f)(x_N)=\alpha*(f(x_N))=\alpha*0=0$,
[/mm]
und dieses [mm] $t_N$ [/mm] erfüllt [mm] $t_N \in [/mm] [0,1]$ (wegen [mm] $t_N=x_N \in [/mm] [0,1]$).
>
> > > > 3.) für je zwei Abbildungen aus dieser Teilmenge ist auch
> > > > deren Summe in der besagten Teilmenge.
> > >
> > > Die Summe verstehe ich nicht wie ich das genau, bei dieser
> > > Aufgabe aufschreiben soll -
> > > nehme ich da etwa f [mm]\in[/mm] U und g [mm]\in[/mm] U und zeige das
> f +
> > g
> > > [mm]\in[/mm] U ist?
> >
> > Ja.
> >
> > > Aber können die Nullstellen durch die Addition nicht auch
> > > außerhalb des Intervalls verschoben werden?
> >
> > Nicht die Nullstellen werden addiert; das ist der gleiche
> > Gedankenfehler wie
> > oben. Um es knapp zu machen:
> > Das hier wird schiefgehen.
> >
> > Der Grund ist, dass die Nullstellen zweier Funktionen nicht
> > aufeinanderfallen
> > müssen - wir demonstrieren es genauer:
> >
> > Betrachte bspw. [mm]f(x):=x[/mm] und [mm]g(x):=1-x[/mm] beide als Abbildungen
> > [mm][0,1] \to \IR[/mm].
>
> Achso würde ich also nun x + (1-x) addieren käme 1 heraus
> und diese Funktion besitzt überhaupt keine Nullstelle und
> liegt daher auch nicht in U?
Ja. Beachtenswert ist auch: $f,g [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] (es ist ja $U [mm] \subseteq C^0[0,1]$;
[/mm]
es würde uns also nichts bringen, wenn [mm] $f\,$ [/mm] oder [mm] $g\,$ [/mm] nicht in [mm] $C^0[0,1]$ [/mm] gilt).
Und wegen [mm] $f(0)=0=g(1)\,$ [/mm] also in der Tat [mm] $f,\,g \in [/mm] U$.
Und wenn Du willst: Für obige Funktionen [mm] $f,\,g \in [/mm] U$ gilt: Es ist zwar $h:=f+g [mm] \in C^0[0,1]$,
[/mm]
aber $h [mm] \notin [/mm] U$:
Denn aus
$h(x)=f(x)+g(x)=x+(1-x)=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
folgt $h(x) [mm] \neq [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Damit muss $(f+g)=:h [mm] \notin [/mm] U$ gelten!
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank!!!
Jetzt habe ich es sogar verstanden - ich hätte nicht gedacht, dass das möglich ist :)))
Viele liebe Grüße
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