Teilmenge < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 30.01.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es sei f:M [mm] \rightarrow [/mm] N eine Abbildung. Für Teilmengen $C,D [mm] \subset [/mm] N$ beweise
[mm] f^{-1}(C\cup [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] f^{-1}(C\cap [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ [/mm] |
Hallo,
reicht es hier, wenn ich sage, dass C [mm] \cup [/mm] D bzw. C [mm] \cap [/mm] D neue Mengen bilden?
Also so:
$C [mm] \cup [/mm] D = V [mm] \Rightarrow f^{-1}(V)=f^{-1}(C \cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:M [mm]\rightarrow[/mm] N eine Abbildung. Für Teilmengen
> [mm]C,D \subset N[/mm] beweise
> [mm]f^{-1}(C\cup[/mm] D) = [mm]f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm]
> [mm]f^{-1}(C\cap[/mm]
> D) = [mm]f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$[/mm]
> Hallo,
>
> reicht es hier, wenn ich sage, dass C [mm]\cup[/mm] D bzw. C [mm]\cap[/mm] D
> neue Mengen bilden?
>
> Also so:
>
> [mm]C \cup D = V \Rightarrow f^{-1}(V)=f^{-1}(C \cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)[/mm]
Nein, das reicht nicht. Du hast nur nochmal die Behauptung hingeschrieben !
Da Du in Klasse 1 Grundschule gehst, Tipps für ABC-Schützen:
1. Nimm ein x [mm] \in f^{-1}(V) [/mm] und zeige: x [mm] \in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)
[/mm]
2. Nimm ein x [mm] \in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) [/mm] und zeige: x [mm] \in f^{-1}(V)
[/mm]
FRED
P.S.: das finde ich langsam lächerlich:
Wohnort: (Weihnachtsinsel) · Math. Background: Klasse 1 Grundschule
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo fred,
> Nein, das reicht nicht. Du hast nur nochmal die Behauptung hingeschrieben !
> Da Du in Klasse 1 Grundschule gehst, Tipps für ABC-Schützen:
1. $x [mm] \in f^{-1}(V) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \vee [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D) \vee [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D)$ [/mm]
OK.... stimmt das?
Gruss und Danke
kushksuh
|
|
|
| |
|
> Hallo fred,
>
> > Nein, das reicht nicht. Du hast nur nochmal die Behauptung
> hingeschrieben !
>
> > Da Du in Klasse 1 Grundschule gehst, Tipps für
> ABC-Schützen:
>
> 1. [mm]x \in f^{-1}(V) \Rightarrow x \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \Rightarrow x \in f^{-1}(C) \vee x \in f^{-1}(D) \vee x \in f^{-1}(C) \wedge x \in f^{-1}(D)[/mm]
>
>
>
> OK.... stimmt das?
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
was treibst Du da überhaupt?
Was ist Dein Ziel? Das solltest Du Dir mal klarmachen...
Zu zeigen ist die
Behauptung:
$ [mm] f^{-1}(C\cup [/mm] $ D) = $ [mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) [/mm] $
Dafür sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen, nämlich
1. [mm] f^{-1}(C\cup [/mm] $ [mm] D)\subseteq [/mm] $ [mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)
[/mm]
und
2. ...
Dafür muß man zeigen (merke: zeigen, nicht einfach hinschreiben), daß gilt
1. [mm] x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)==> [mm] x\in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)
[/mm]
und
2. ....
Beweis:
zu 1.
Sei [mm] x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D).
(So, und nun wäre es an der Zeit, daß Du Dich mal informierst, was dieses [mm] f^{-1} [/mm] hier überhaupt bedeutet. )
==> es gibt ein ... mit ...
==> usw. usf.
==> [mm] x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela,
> Dafür sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen, nämlich :
> $ [mm] f^{-1}(C \cup D)\subseteq f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ [/mm]
und [mm] $f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) \subseteq f^{-1}(C \cup [/mm] D)$
> und dafür ist zu zeigen
> $1. [mm] x\in f^{-1}(C \cup [/mm] D) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$
[/mm]
und $ 2. x [mm] \in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C \cup [/mm] D)$
> Beweis
> zu 1. sei $x [mm] \in f^{-1}(C \cup [/mm] D)$
> was bedeutet [mm] f^{-1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(C \cup [/mm] D) ist die Abbildung der vereinigten Menge von N nach M , [mm] f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) [/mm] ist die Vereinigung der einzelnen abgebildeten Mengen von N nach M...
1. C [mm] \cup [/mm] D := V
[mm] f^{-1}(C \cup [/mm] D) = y [mm] \in [/mm] V:f(y) [mm] \in C\cup [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] V: f(y) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(y) [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cup [/mm] D)
2. [mm] f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=y \in [/mm] V: f(y) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(y) [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] V: f(y) [mm] \in C\cup [/mm] D
[mm] \Righttarow f^{-1}(C\cup [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)
[/mm]
> Gruß v. Angela
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo angela,
>
>
> > Dafür sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen, nämlich
> :
>
> > [mm]f^{-1}(C \cup D)\subseteq f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm]
>
> und [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) \subseteq f^{-1}(C \cup D)[/mm]
>
> > und dafür ist zu zeigen
>
> > [mm]1. x\in f^{-1}(C \cup D) \Rightarrow x \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm]
>
> und [mm]2. x \in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) \Rightarrow x \in f^{-1}(C \cup D)[/mm]
>
>
> > Beweis
>
> > zu 1. sei [mm]x \in f^{-1}(C \cup D)[/mm]
>
> > was bedeutet [mm]f^{-1}[/mm]
> [mm]f^{-1}(C \cup[/mm] D) ist die Abbildung der vereinigten Menge
> von N nach M , [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)[/mm] ist die Vereinigung
> der einzelnen abgebildeten Mengen von N nach M...
Nein, nein ! Das ist doch Unfug ! Es ist z.B. [mm] $f^{-1}(C)=\{x \in M: f(x)\in C\}$
[/mm]
>
>
> 1. C [mm]\cup[/mm] D := V
> [mm]f^{-1}(C \cup[/mm] D) = y [mm]\in[/mm] V:f(y) [mm]\in C\cup[/mm] D
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] V: f(y) [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] f(y) [mm]\in[/mm] D
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cup[/mm] D)
Das ist so kraus, dass mir nichts mehr einfällt....
>
>
> 2. [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=y \in[/mm] V: f(y) [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] f(y)
> [mm]\in[/mm] D
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] V: f(y) [mm]\in C\cup[/mm] D
> [mm]\Righttarow f^{-1}(C\cup[/mm] D) = [mm]f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm]
Wenn ich so was lese, könnte ich auf die Idee kommen, Du gehst in Klasse 1 der Grundschule auf den Weihnachtsinseln
FRED
>
>
>
> > Gruß v. Angela
>
> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Nein
OK,
[mm] f^{-1}(C \cup [/mm] D) = [mm] \{ x \in M : f(x) \in C \cup D \}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] {x [mm] \in [/mm] M: f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D [mm] \} [/mm]
[mm] \gdw f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) [/mm] = [mm] f^{-1}(C \cup [/mm] D)
jetzt ist es für beide Richtungen gezeigt oder nicht?
Danke
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mit der Schreibweise musst du etwas aufpassen. Du kannst in dem Fall den Beweis mit einer längeren Gleichungskette machen, dann brauchst du keine [mm] \gdw [/mm] verwenden.
Also
[mm] $f^{-1}(C \cup [/mm] D)$
[mm] =\{x \in M| f(x) \in C \cup D\}$
[/mm]
[mm] =\{x \in M| f(x) \in C \vee f(x) \in D\}$
[/mm]
[mm] =\{x \in M| f(x) \in C\} \cup \{x \in M| f(x) \in D\}$
[/mm]
[mm] =$f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$. [/mm]
(den Zwischenschritt, den ich noch zusätzlich gemacht habe, würde ich auch noch an deiner Stelle hinschreiben!)
Die Standardmethode ist aber eben, indem du wirklich 2 Richtungen separat zeigst.
Also
$x [mm] \in f^{-1}(C\cup [/mm] D) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ [/mm]
und umgedreht
$x [mm] \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C\cup [/mm] D)$
Du kannst das ja testweise auch noch einmal so machen, weil die meisten Beweise, die du noch so machen müssen wirst, auch so ablaufen, zumindest wenn sie ein bisschen anspruchsvoller sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Teufel,
Was ist der Unterschied zwischen | und :?
> Du kannst das ja testweise auch noch einmal so machen
1. $x [mm] \in f^{-1}(C\cup [/mm] D) [mm] \Rightarrow x^{-1} \in [/mm] C [mm] \cup [/mm] D [mm] \Rightarrow x^{-1} \in [/mm] C [mm] \wedge x^{-1} \in [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D)$
[/mm]
2. $x [mm] \in f^{-1}(C) \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D) \Rightarrow [/mm] x [mm] ^{-1}\in [/mm] C [mm] \wedge x^{-1} \in [/mm] D [mm] \Rightarrow x^{-1} \in [/mm] C [mm] \cup [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C \cup [/mm] D)$
so ok?
Danke!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ob | oder : ist egal. Ich mag nur | lieber. :)
Zur Aufgabe:
Statt [mm] x^{-1} [/mm] meinst du sicher f(x)! Und das [mm] \wedge [/mm] müsste ein [mm] \vee [/mm] sein. Habe ich oben auch falsch gemacht.
Ansonsten sieht es gut aus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Teufel,
Danke!!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
