Teilmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Sei f:A-->B eine Abb. und X,Y [mm] \subseteq [/mm] B. Dann gilt. f(X [mm] \cap [/mm] Y) [mm] \subseteq [/mm] f(X) [mm] \cap [/mm] f(X).
Sei a [mm] \in [/mm] f(X [mm] \cap [/mm] Y) beliebig. z.z. a [mm] \in [/mm] f(X) [mm] \cap [/mm] f(X)
Wie kann man das folgern. Meine Idee ist das über die Umkehrfunktion zu zeigen. Kann man das so machen?
a [mm] \in [/mm] f(X [mm] \cap [/mm] Y) => [mm] f^{-1}(a) \in [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y) => [mm] f^{-1}(a) \in [/mm] X und [mm] f^{-1}(a) \in [/mm] Y => a [mm] \in [/mm] f(X) und a [mm] \in [/mm] f(Y).
Oder bin ich auf der falschen Spur?
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Fr 07.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DerPinguinagent!
> Sei f:A-->B eine Abb. und X,Y [mm]\subseteq[/mm] B. Dann gilt. f(X
> [mm]\cap[/mm] Y) [mm]\subseteq[/mm] f(X) [mm]\cap[/mm] f(X).
(Am Ende soll es vermutlich $f(Y)$ statt $f(X)$ heißen.)
> Sei a [mm]\in[/mm] f(X [mm]\cap[/mm] Y) beliebig. z.z. a [mm]\in[/mm] f(X) [mm]\cap[/mm] f(X)
(Wieder soll es am Ende $f(Y)$ statt $f(X)$ heißen.)
Ja, das ist ein guter Anfang.
(Ich würde den Buchstaben b anstelle von a verwenden, denn er soll ein Element der Menge $B$, nicht der Menge $A$ bezeichnen.)
> Wie kann man das folgern. Meine Idee ist das über die
> Umkehrfunktion zu zeigen.
f wird im Allgemeinen keine Umkehrfunktion haben. Nur bijektive Abbildungen haben eine Umkehrabbildung.
> Kann man das so machen?
>
> a [mm]\in[/mm] f(X [mm]\cap[/mm] Y) => [mm]f^{-1}(a) \in[/mm] (X [mm]\cap[/mm] Y) => [mm]f^{-1}(a) \in[/mm]
> X und [mm]f^{-1}(a) \in[/mm] Y => a [mm]\in[/mm] f(X) und a [mm]\in[/mm] f(Y).
Anfang und Ende passen.
EDIT: Am Ende sollte noch [mm] "$\Rightarrow a\in f(X)\cap [/mm] f(Y)$" ergänzt werden.
[mm] $f^{-1}(a)$ [/mm] ist hingegen, wenn f nicht gerade bijektiv ist, kein sinnvoller Ausdruck.
Was bedeutet denn [mm] $b\in f(X\cap [/mm] Y)$ nach Definition von [mm] $f(X\cap [/mm] Y)$? (Wie lautet diese Definition?)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Erst einmal vielen Dank für Deine Hilfe. Wenn [mm] b\in f(X\cap [/mm] Y) dann ist b [mm] \in [/mm] f(X) und b [mm] \in [/mm] f(Y) und damit wär ja alles gezeigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Fr 07.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Erst einmal vielen Dank für Deine Hilfe. Wenn [mm]b\in f(X\cap[/mm]
> Y) dann ist b [mm]\in[/mm] f(X) und b [mm]\in[/mm] f(Y) und damit wär ja
> alles gezeigt.
Damit wäre dann in der Tat alles gezeigt.
EDIT: Was ich noch übersehen habe: Am Ende sollte aus [mm] $b\in [/mm] f(X)$ und [mm] $b\in [/mm] f(Y)$ noch [mm] $b\in f(X)\cap [/mm] f(Y)$ gefolgert werden.
Aber mir fehlt der entscheidende Teil: Wie begründest du, dass aus [mm] $b\in f(X\cap [/mm] Y)$ auch [mm] $b\in [/mm] f(X)$ und [mm] $b\in [/mm] f(Y)$ folgen?
Vorschlag: Arbeite mit der Definition von [mm] $f(X\cap [/mm] Y)$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
noch eine Anmerkung von mir:
> Sei f:A-->B eine Abb. und X,Y [mm]\subseteq[/mm] B.
Es soll wohl eher $X,Y [mm] \subseteq [/mm] A$ heißen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 07.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hi Gono,
> > Sei f:A-->B eine Abb. und X,Y [mm]\subseteq[/mm] B.
Danke fürs Aufpassen!
Da war ich wohl betriebsblind... 
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
