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| Aufgabe | Sei K ein Teilkörper eines Körpers L. Begründen Sie, warum die Menge aller Elemente von L[t], die K-Linearkombinationen von Elementen von P(t) sind, ein K enthaltender Polynomring über K ist! Wir schreiben dafür in der Folge K[t].
Seien f, g [mm] \in [/mm] K[t]. Man zeige:
(a) Gilt f teilt unter L[t] g, so auch f teilt unter K[t] g
(b) Sind f, g in K[t] zueinander teilerfremd, so auch in L[t]. |
Hi.
Ist es richtig, dass gilt K[t] = L[t]? Nur eigentlich kann das doch nicht sein, weil ja sonst die Aufabe schwachsinnig wäre. Da die dann natürlich trivialerweise richtig ist.
Wäre super, wenn ihr euch mal dazu kurz äußern könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
> Ist es richtig, dass gilt $K[t] = L[t]$?
Nein, das ist nicht richtig. K[t] ist der Polynomring über $K$, d.h. die Menge der formalen Ausdrücke [mm] $k_n\cdot t^n [/mm] + [mm] k_{n-1}\cdot t^{n-1}+...+k_0$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und Koeffizienten [mm] $k_0,k_1,...,k_n\in [/mm] K$. Analog wird L[t] definiert; die Koeffizienten sind dort allerdings aus $L$ zu wählen. Da $K$ ein Teilkörper von $L$ ist, lässt sich K[t] als Teilmenge von L[t] auffassen. Ist allerdings $K$ echter Teilkörper von $L$, so ist auch K[t] echte Teilmenge von L[t]. Falls das nicht klar ist, nimm dir ein [mm] $l\in L\setminus [/mm] K$ und betrachte das konstante Polynom [mm] $l=l\cdot t^0$. [/mm] Es liegt in L[t], aber nicht in K[t] (nach Definition von K[t] und L[t]).
Nun zur Aufgabe. Lass uns versuchen, die Lösung gemeinsam zu erarbeiten.
Nimm an, $f$, als Polynom in L[t] aufgefasst, sei Teiler von $g$, ebenfalls als Polynom in L[t] aufgefasst. Was heißt das konkret? Wenn du das hast, schreibe bitte, $f$ und $g$ nach obiger Definition von L[t] als formale Summe aus. Dann machen wir weiter.
Liebe Grüße,
Hanno
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Dies ist unsere Definition aus der Vorlesung:
Seien K ein Körper und f, g [mm] \in [/mm] K[t] . g heißt ein Teiler von f, wenn es ein $ h [mm] \in [/mm] K[t] $ gibt mit f = g h.
Jedes Polynom $n$-ten Grades über einem Ring mit Einselement ist darstellbar als Summe. Somit gilt
f = [mm] \summe_{i=0}^{n} f_i x^i [/mm]
und
g = [mm] \summe_{i=0}^{n} g_i x^i [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
> Seien K ein Körper und f, g $ [mm] \in [/mm] $ K[t] . g heißt ein Teiler von f, wenn es ein $ h $ [mm] \in [/mm] $ K[t] $ gibt mit f = g h.
Okay. In diesem Falle ist $f$ ein Teiler von $g$ in $L[t]$, d.h. $h$ muss auch Polynom aus $L[t]$ sein. Wir schreiben es noch aus: [mm] $h=\sum_{i=0}^{n_h} h_i t^i$.
[/mm]
> Jedes Polynom $ n $-ten Grades über einem Ring mit Einselement ist darstellbar als Summe. Somit gilt
> f = $ [mm] \summe_{i=0}^{n} f_i x^i [/mm] $
> und
> g = $ [mm] \summe_{i=0}^{n} g_i x^i [/mm] $
$f$ und $g$ müssen nicht gleichen Grad haben. Sagen wir, [mm] $n_f$ [/mm] sei der Grad von $f$ und [mm] $n_g$ [/mm] der Grad von $g$, erhalten wir also die Darstellungen [mm] $f=\sum_{i=0}^{n_f} f_i t^i$ [/mm] (beachte, dass $t$ die Unbestimmte ist) und [mm] $g=\sum_{i=0}^{n_g} g_i t^i$.
[/mm]
Wie sieht nun das Polynom [mm] $f\cdot [/mm] h$ aus? Schreibst du es bitte einmal aus, d.h. drückst jeden Koeffizienten in [mm] $f\cdot [/mm] h$ durch die [mm] $f_i$ [/mm] und [mm] $h_i$ [/mm] aus? Warum müssen die Koeffizienten aus [mm] $f\cdot [/mm] h$ in $K$ liegen?
Liebe Grüße,
Hanno
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f * h = [mm] \sum_{i=0}^{n_f} f_i t^i [/mm] * [mm] \sum_{i=0}^{n_h} h_i t^i
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
Schreibe es bitte aus und fasse es nach den Potenzen von $t$ zusammen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Es tut mir leid, aber ich habe keine Idee, wie ich das ganze sinnvoll mit einander multiplizieren kann und dann noch nach t zusammenfassen kann.
Das einzige was ich geschafft habe, ist das folgende:
(1 + [mm] f_1 t^2 [/mm] + [mm] f_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] f_{n_f} t^{n_f}) [/mm] (1 + [mm] h_1 t^2 [/mm] + [mm] h_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] h_{n_h} t^{n_h}) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
Multipliziere es doch nach dem Distributivgesetz aus. So, wie man auch [mm] $(x^2+x+1)(x+1)=x^3+x^2+x+x^2+x+1=x^3+2x^2+2x+1$ [/mm] ausmultipliziert.
Beim Zusammenfassen der Potenzen musst du ein wenig nachdenken. Wenn du es nicht schaffst, dann schau in deinem Skript nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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Es tut mir leid. Aber es ist mir nicht möglich diese beiden Terme mit einander zu multiplizieren.
(1 + [mm] h_1 t^1 [/mm] + [mm] h_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] h_n t^n [/mm] + [mm] f_1 t^1 [/mm] + f_^1 [mm] t^1 h_1 t^1 [/mm] + [mm] f_1 t^1 h_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] f_1 t^1 h_n t^n [/mm] + [mm] f_2 t^2 [/mm] + [mm] f_2 t^2 h_1 t^1 [/mm] + [mm] f_2 t^2 h_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] f_2 t^2 h_n t^n [/mm] + ... + [mm] f_n t^n [/mm] + [mm] f_n t^n h_1 t^1 [/mm] + [mm] f_n t^n h_2 t^2 [/mm] + ... + [mm] f_n t^n h_n t^n)
[/mm]
Zusammenfassen und nach t auflösen kann ich leider nicht! da dort oben eine 1 steht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
Eine Formel für den Koeffizienten von [mm] $t^i$ [/mm] in [mm] $f\cdot [/mm] h$ ist [mm] $\sum_{k=0}^{i} f_k h_{k-i}$.
[/mm]
Verstehst du, warum?
Nun, warum muss das ein Polynom in $K[t]$ sein? Erinnere dich daran, wie wir auf $h$ gekommen waren.
Liebe Grüße,
Hanno
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Nach Defintion von f und g gilt: f,g [mm] \in [/mm] K[t]. Wir wählen aber h erstmal aus L[t].
Bei der Multiplikation f*h ergibt sich also Produkt eines Elementes aus K[t] und L[t]. Es gilt jedoch f*h =g, also ist es ein Polynom aus K[t].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Ok, also müssen alle Koeffizienten von [mm] $f\cdot [/mm] h$, also die Ausdrücke [mm] $\sum_{k=0}^{i} f_{k} h_{n-k}$ [/mm] alle in $K$ liegen, denn schließlich sind sie Koeffizienten von [mm] $f\cdot [/mm] h=g$, einem Polynom aus K[t].
Wenn wir zeigen können, dass alle Koeffizienten von $h$ in $K$ sind, dann ist auch $h$ in K[t] , d.h. auch $f$ Teiler von $g$ in K[t] ist (verstehst du das? du musst das verstehen; ich mache vorher nicht weiter. Bisher zeigst du nicht das geringste Zeichen von Verständnis, und wenn das der Fall ist, bringt es nichts, dies hier fortzusetzen). Nehmen wir also an, dass $h$ nicht in K[t] sei. Dann wähle ein [mm] $0\leq i\leq n_h$ [/mm] minimal, sodass [mm] $h_i$ [/mm] nicht in $K$ liegt (das muss existieren, wenn $h$ nicht in K[t] liegt). Betrachte dann den Koeffizienten [mm] $g_i$. [/mm] Kann er in $K$ liegen?
Liebe Grüße,
Hanno
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Ja.
[mm] g_i [/mm] liegt als alternative Darstellung durch das Produkt f*g ebenfalls in K liegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 28.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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