Teileranzahlfunktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 09.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Sei [mm] $\tau$ [/mm] die Teileranzahlfunktion und [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die Gleichung
[mm] $\sum_{d|n}\tau(d^2)=(\tau(n))^2$,
[/mm]
wobei die Summe über alle Teiler $d$ von $n$ gebildet wird. |
Hallo zusammen,
bin bei dieser Aufgabe bis zu einem gewissen Punkt gekommen, der letzte Schritt fehlt mir aber leider noch. Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Die linke Seite ergibt umgeformt:
[mm] $\sum_{d|n} \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(d)} \right)$
[/mm]
bzw. mit der Multiplikativität der Teileranzahlfunktion
[mm] $\sum_{d|n} \prod_{p\in\mathbb{P}} \tau \left( p^{w_p(d)} \right)$.
[/mm]
Mit der Anzahl der Teiler einer Primzahlpotenz erhalte ich
[mm] $\sum_{d|n}\tau(d^2)=\sum_{d|n} \prod_{p\in\mathbb{P}} \left( w_p(d) +1 \right)$
[/mm]
Die rechte Seite forme ich ähnlich um:
[mm] $\tau(n)\cdot\tau(n)= \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(n)} \right) \cdot \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(n)} \right) [/mm] = [mm] \prod_{p\in\mathbb{P}}(w_p(n)+1)^2$
[/mm]
An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter, vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Sei [mm]\tau[/mm] die Teileranzahlfunktion und [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] eine
> natürliche Zahl. Beweisen Sie die Gleichung
> [mm]\sum_{d|n}\tau(d^2)=(\tau(n))^2[/mm],
> wobei die Summe über alle Teiler [mm]d[/mm] von [mm]n[/mm] gebildet wird.
> Hallo zusammen,
>
> bin bei dieser Aufgabe bis zu einem gewissen Punkt
> gekommen, der letzte Schritt fehlt mir aber leider noch.
> Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
>
> Die linke Seite ergibt umgeformt:
> [mm]\sum_{d|n} \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(d)} \right)[/mm]
Hier muß doch
[mm]\sum_{d|n} \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(d^{\red{2}})} \right)=\sum_{d|n} \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{\red{2}*w_p(d)} \right)[/mm]
stehen.
>
> bzw. mit der Multiplikativität der Teileranzahlfunktion
> [mm]\sum_{d|n} \prod_{p\in\mathbb{P}} \tau \left( p^{w_p(d)} \right)[/mm].
>
> Mit der Anzahl der Teiler einer Primzahlpotenz erhalte ich
> [mm]\sum_{d|n}\tau(d^2)=\sum_{d|n} \prod_{p\in\mathbb{P}} \left( w_p(d) +1 \right)[/mm]
Gilt [mm]n=p_{1}^{k_{1}}* \ \dots \ * p_{r}^{k_{r}}[/mm]
Es gilt hier: [mm]w_{p_{i}}\left(n\right)=k_{i}, \ 1 \le i \le r[/mm]
So hat d eine entsprechende Primfaktorzerlegung:
[mm]d=p_{1}^{l_{1}}* \ \dots \ * p_{r}^{l_{r}}, \ 0 \le l_{i} \le k_{i},\ 1 \le i \le r[/mm]
Dann gilt für [mm]d^ {2}=p_{1}^{2*l_{1}}* \ \dots \ * p_{r}^{2*l_{r}}[/mm]
Die Teileranzahl beläuft sich hier auf:
[mm]\tau\left(d^{2}\right)=\left(1+2*l_{1}\right) * \ \dots \ * \left(1+2*l_{r}\right)=\produkt_{i=1}^{r}\left(1+2*l_{i}\right)[/mm]
Da Du jetzt die Summe über alle Teiler d von n bilden mußt, steht da:
[mm]\summe_{d|n}^{}\tau\left(d^{2}\right)=\summe_{l_{1}=0}^{k_{1}} \dots \summe_{l_{r}=0}^{k_{r}}\left(1+2*l_{1}\right) * \ \dots \ * \left(1+2*l_{r}\right)[/mm]
Und jetzt kannst Du Multiplikation mit Addition vertauschen:
[mm]=\summe_{l_{1}=0}^{k_{1}}\left(1+2*l_{1}\right) * \ \dots \ * \summe_{l_{r}=0}^{k_{r}} \left(1+2*l_{r}\right)[/mm]
Die Gleichung jetzt vollends zu beweisen, sollte eigentlich kein Problem mehr darstellen.
>
> Die rechte Seite forme ich ähnlich um:
> [mm]\tau(n)\cdot\tau(n)= \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(n)} \right) \cdot \tau \left( \prod_{p\in\mathbb{P}}p^{w_p(n)} \right) = \prod_{p\in\mathbb{P}}(w_p(n)+1)^2[/mm]
>
> An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter, vielleicht
> hat ja jemand einen Tipp für mich.
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 14.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
vielen Dank erstmal für Deine Antwort. Komme leider immer noch nicht bei der Aufgabe weiter. Wenn ich Deine letzte Zeile zusammenfasse, erhalte ich:
[mm] $\prod_{i=1}^r \left( \sum_{l_i=0}^{k_i}(1+2\cdot l_i)\right)$
[/mm]
Die rechte Seite aus der Behauptung schreibt sich (in Deiner Notation) als
[mm] $\prod_{i=1}^r(k_i+1)^2$
[/mm]
Irgendwie scheint mir da der letzte Kniff zu fehlen, um die Gleichheit der beiden Ausdrücke zu beweisen.
Viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Hi,
>
> vielen Dank erstmal für Deine Antwort. Komme leider immer
> noch nicht bei der Aufgabe weiter. Wenn ich Deine letzte
> Zeile zusammenfasse, erhalte ich:
> [mm]\prod_{i=1}^r \left( \sum_{l_i=0}^{k_i}(1+2\cdot l_i)\right)[/mm]
Diese Formel
[mm]\sum_{l_i=0}^{k_i}(1+2\cdot l_i)[/mm]
ist die Summe der ersten [mm]k_{i}+1[/mm] ungeraden Zahlen.
Und dafür gibt es eine geschlossene Formel.
>
> Die rechte Seite aus der Behauptung schreibt sich (in
> Deiner Notation) als
>
> [mm]\prod_{i=1}^r(k_i+1)^2[/mm]
>
> Irgendwie scheint mir da der letzte Kniff zu fehlen, um die
> Gleichheit der beiden Ausdrücke zu beweisen.
>
> Viele Grüße
> Gregor
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 15.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Sei $tau$ die Teileranzahlfunktion. Beweisen Sie die folgende Aussage:
[mm] $\left( \sum_{d|n}\tau(d)\right)^2=\sum_{d|n}(\tau(d))^3$ [/mm] |
Hi,
vielen Dank für den Hinweis, habe die erste Aufgabe jetzt gelöst. Habe daraufhin versucht, eine weitere Aufgabe dieser Art zu lösen. Anscheinend habe ich da aber einen Fehler drin, vielleicht kann mir ja jemand sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe.
Forme beide Seiten der Gleichung ähnlich wie in Aufgabe 1 um:
[mm] $\left( \sum_{d|n}\tau(d)\right)^2=\left(\sum_{d|n}\tau\left(\prod_{i=1}^rp_i^{l_i}\right)\right)^2=\left(\sum_{d|n}\prod_{i=1}^r(l_i+1)\right)^2=\left(\sum_{l_1=0}^{k_1}(1+l_1)\cdot\ldots\cdot\sum_{l_r=0}^{k_r}(1+l_r)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{(k_1+1)(k_1+2)}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{(k_r+1)(k_r+2)}{2}\right)^2$
[/mm]
Die rechte Seite ergibt bei mir:
[mm] $\sum_{d|n}(\tau(d))^3=\sum_{d|n}\tau\left(\prod_{i=1}^rp_i^{l_i}\right)^3=\sum_{d|n}\tau\left(\prod_{i=1}^rp_i^{3l_i}\right)=\sum_{d|n}\prod_{i=1}^r(3l_i+1)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{l_1=0}^{k_1}(3l_1+1)\cdot\ldots\cdot\sum_{l_r=0}^{k_r}(3l_r+1)$
[/mm]
Sehe nicht wirklich, wie diese beiden Terme übereinstimmen sollen, vielleicht hat ja jemand eine Idee.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
du hast eine Klammer übersehen, es ist:
[mm] \sum_{d|n}(\tau(d))^3=\sum_{d|n}(\tau\left(\prod_{i=1}^rp_i^{l_i}\right) )^{3} [/mm]
dann ergibt sich:
[mm] \sum_{l_1=0}^{k_1}(l_1+1)^{3}\cdot\ldots\cdot\sum_{l_r=0}^{k_r}(l_r+1)^{3}
[/mm]
Über Induktion kannst du nun Äquivalenz zu dem anderen Term zeigen.
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 16.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Steffen,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob man da mit Induktion weiterkommt. Ich habe ja schließlich mehrere Laufindizes ($r$ und die [mm] $k_i$)...
[/mm]
Viele Grüße
Gregor
> Hallo grenife,
>
> du hast eine Klammer übersehen, es ist:
>
> [mm]\sum_{d|n}(\tau(d))^3=\sum_{d|n}(\tau\left(\prod_{i=1}^rp_i^{l_i}\right) )^{3}[/mm]
>
> dann ergibt sich:
>
> [mm]\sum_{l_1=0}^{k_1}(l_1+1)^{3}\cdot\ldots\cdot\sum_{l_r=0}^{k_r}(l_r+1)^{3}[/mm]
>
> Über Induktion kannst du nun Äquivalenz zu dem anderen Term
> zeigen.
>
> Grüße, Steffen
>
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Hallo grenife,
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob man da mit Induktion
> weiterkommt. Ich habe ja schließlich mehrere Laufindizes ([mm]r[/mm]
> und die [mm]k_i[/mm])...
ja, sorry, ich meinte es für eine einzelne Summe. Also greife dir eine Summe raus, d.h. z.B. für [mm] l_{1} [/mm] hast du ja:
[mm] \sum_{l_1=0}^{k_1}(l_1+1)^{3}
[/mm]
und jetzt zeige, dass das äquivalent ist zu
[mm] (\sum_{l_1=0}^{k_1} (l_1+1) )^{2}
[/mm]
bzw. allgemeiner das gilt:
[mm] \sum_{i = 0}^{n}(i+1)^{3} [/mm] = [mm] (\sum_{i = 0}^{n} [/mm] (i+1) [mm] )^{2}, [/mm] wobei du deinen von dir (in einem früheren Post) angegebenen Term nehmen solltest.
Das ist ähnlich wie zu deiner ersten Aufgabe. Da hattest du zum Schluss ja:
[mm] \sum_{l_1=0}^{k_1}(2l_1+1) [/mm] *...* [mm] \sum_{l_r=0}^{k_r}(2l_r+1)
[/mm]
und wolltest zeigen, dass das äuivalent ist zu
[mm] (k_1+1)^{2}*...*(k_r+1)^{2}. [/mm] Nun gilt aber allgemein:
[mm] \sum_{i=0}^{n}(2i+1) [/mm] = [mm] (n+1)^{2}, [/mm] woraus sich dann das behauptete ganz leicht ergibt.
Klar, was ich meinte?
Grüße, Steffen
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