Teiler von nat. Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Welche natürlichen Zahlen haben genau 2, 3, bzw 8 Teiler? |
Hallo,
also das erste ist klar: Primzahlen haben genau 2 Teiler.
Quadrate von Primzahlen haben genau 3 Teiler.
z.B. [mm] 7^2= [/mm] 49 Teiler von 49: 1,7,49
Hierzu erstmal ein kleine Frage: wie kann ich das allgemein ausdrücken?
So jetzt fand ich es schon etwas schwerer: Welche natürlichen Zahlen haben 8 Teiler. Ich habe ein bisschen hin und her gerechnet und vermute jetzt folgendes:
Zahlen in deren Primfaktorzerlegung 4 Faktoren den Exponent 1 haben haben 8 Teiler z.B.:
30= [mm] 1\*2\*3\*5
[/mm]
So jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
Ciaoi ninime
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 02.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Welche natürlichen Zahlen haben genau 2, 3, bzw 8 Teiler?
> Hallo,
> also das erste ist klar: Primzahlen haben genau 2 Teiler.
>
> Quadrate von Primzahlen haben genau 3 Teiler.
> z.B. [mm]7^2=[/mm] 49 Teiler von 49: 1,7,49
> Hierzu erstmal ein kleine Frage: wie kann ich das
> allgemein ausdrücken?
>
Das schreibst du genauso, wie du es hier notiert hast.
> So jetzt fand ich es schon etwas schwerer: Welche
> natürlichen Zahlen haben 8 Teiler. Ich habe ein bisschen
> hin und her gerechnet und vermute jetzt folgendes:
> Zahlen in deren Primfaktorzerlegung 4 Faktoren den
> Exponent 1 haben haben 8 Teiler z.B.:
> 30= [mm]1\*2\*3\*5[/mm]
>
> So jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wäre super wenn mir
> jemand helfen könnte.
Die Idee ist hervorragend:
Hast du erstmal vier Primfaktoren mit dem Exponent 1, kannst du ja, um die weiteren Teiler zu erhalten, jeden miteinander multiplizieren.
Also im Beispiel der 30 sind weitere Teiler:
6(=2*3)
10(=2*5)
15(=3*5)
30(=2*3*5)
Du hast also mit der 1 vier Primfaktoren, und du sollst jeden mit jedem noch Multiplizieren, um die anderen Teiler (Keine Primfaktoren) zu bekommen.
Überlege mal, welchen Sonderfall die 1 bei der Multiplikation spielt!.
Dann überlege mal, wieviele Primfaktoren übrig bleiben, und wieviele Möglichkeiten es gibt, diese noch miteinander zu multiplitizeren.
>
> Ciaoi ninime
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Welche natürlichen Zahlen haben genau 2, 3, bzw 8 Teiler? |
Danke erstmal 
Also kann hat das Produkt von 3 verschiedenen Primzahlen immer 8 Teiler.
Die 1 ist ja unwesentlich bei der Multiplikation.
Um bei dem vorherigen Beispiel zu bleiben:
[mm] 2\*3\*5 [/mm] = 30
Somit hat die Zahl die Teiler 2, 3, 5, 30/2, 30/3, 30/5, 1 und 30
Jetzt weiß ich nicht wie ich das erklären soll warum das so ist. Im Kopf hab ich die Vorstellung davon, kann sie aber irgendwie nicht in Worte packen ich versuchs mal
Wenn ich drei andere Zahlen habe, haben diese Zahlen ja noch eigene Teiler und die Teilerzahl des Produkts wird größer.
rechne ich zum Beispiel
[mm] 4\*6\*8= [/mm] 192
4: der Teiler 2 kommt dazu
6: der Teiler 3 kommt dazu
nehme ich jetzt aber 3 Primzahlen hat das Produkt genau acht Teiler, da die einzelnen Primzahlen ja keine eigenen haben.
Ich hoffe, dass das jetzt jemand verstanden hat und mir helfen kann das ganze etwas mathematisch auszudrücken
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 02.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Welche natürlichen Zahlen haben genau 2, 3, bzw 8 Teiler?
> Danke erstmal
>
> Also kann hat das Produkt von 3 verschiedenen Primzahlen
> immer 8 Teiler.
> Die 1 ist ja unwesentlich bei der Multiplikation.
>
> Um bei dem vorherigen Beispiel zu bleiben:
>
> 2*3*5= 30
> Somit hat die Zahl die Teiler 2, 3, 5, 30/2, 30/3, 30/5, 1
> und 30
>
> Jetzt weiß ich nicht wie ich das erklären soll warum das so
> ist. Im Kopf hab ich die Vorstellung davon, kann sie aber
> irgendwie nicht in Worte packen ich versuchs mal
>
>
> Wenn ich drei andere Zahlen habe, haben diese Zahlen ja
> noch eigene Teiler und die Teilerzahl des Produkts wird
> größer.
> rechne ich zum Beispiel
>
> 4*6*8=192
>
> 4: der Teiler 2 kommt dazu
> 6: der Teiler 3 kommt dazu
>
> nehme ich jetzt aber 3 Primzahlen hat das Produkt genau
> acht Teiler, da die einzelnen Primzahlen ja keine eigenen
> haben.
>
> Ich hoffe, dass das jetzt jemand verstanden hat und mir
> helfen kann das ganze etwas mathematisch auszudrücken
>
Hallo,
es gilt folgender Zusammenhang:
Hat die Primfaktorenzerlegung der Zahl q die Form
$q = [mm] p_1^{k_1} [/mm] * [mm] p_2^{k_2} [/mm] *...* [mm] p_n^{k_n}$, [/mm] dann hat q genau [mm] (k_1+1)*(k_2+1)*..*(k_n+1) [/mm] Teiler.
Gruß Abakus
|
|
|
|
