Teiler vom Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 31.05.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | | Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einen Körper K und [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus von V. Für jedes Polynom [mm]P \in K[X][/mm] ist auch [mm]P(\phi)[/mm] ein Endomorphismus von V. Sei nun u(X) ein Teiler des Minimalpolynoms [mm]\mu(\phi)[/mm] mit [mm]1 \le [/mm] Grad u. Zeigen Sie, dass der Kern [mm]u(\phi)[/mm] nicht verschwindet, also Kern [mm]u(\phi) \not= \{0\}[/mm]. |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab bei der obrigen Aufgabe ein Verständnisproblem.
Ich kann ja Polynomdivisionen durchführen von der Form:
[mm](x^n+x^{n-1}+...):(x-a)=...[/mm]
Wobei der erste Teil ein Minimalpolynom ist.
und (x-a) ist der Teiler u(X) welches aber auch ein längeres Polynom sein kann. Wenn der Kern nicht verschwinden darf, darf a nicht 0 sein, also darf das charakteristische Polynom nicht die Nullstelle null haben.
Da hätte ich aber ein Gegenbeispiel:
[mm]\pmat{0 & 1\\ 0 & 0}[/mm]=det[mm]\pmat{X & 1\\ 0 & X}[/mm]
dann ist das charakteristische Polynom [mm]X^2[/mm]
das Minimalpolynom ist dann X, aber die Gleichung X=0 hat die Nullstelle 0.
Also muss ich ja die Aufgabe falsch verstanden haben,oder?
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 31.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einen
> Körper K und [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus von V. Für jedes
> Polynom [mm]P \in K[X][/mm] ist auch [mm]P(\phi)[/mm] ein Endomorphismus von
> V. Sei nun u(X) ein Teiler des Minimalpolynoms [mm]\mu(\phi)[/mm]
> mit [mm]1 \le[/mm] Grad u. Zeigen Sie, dass der Kern [mm]u(\phi)[/mm] nicht
> verschwindet, also Kern [mm]u(\phi) \not= \{0\}[/mm].
> ich hab bei der obrigen Aufgabe ein Verständnisproblem.
> Ich kann ja Polynomdivisionen durchführen von der Form:
> [mm](x^n+x^{n-1}+...):(x-a)=...[/mm]
> Wobei der erste Teil ein Minimalpolynom ist.
> und (x-a) ist der Teiler u(X) welches aber auch ein
> längeres Polynom sein kann.
Soweit ok.
> Wenn der Kern nicht verschwinden darf, darf a nicht 0 sein
> also darf das charakteristische Polynom nicht die Nullstelle null haben.
Ich glaub hier verwechselst du was, es geht nicht um den "Kern" von $u(x)=x-a$, also die Nullstellen des Polynoms, sondern um den Kern der linearen Abbildung [mm] $u(\phi)=\phi-a=\phi-a\cdot\mathbb{E}_n$ [/mm] (mit [mm] $\mathbb{E}_n$ [/mm] meine ich die Einheitsmatrix der Dimension $n$).
> Da hätte ich aber ein Gegenbeispiel:
> [mm]\pmat{0 & 1\\ 0 & 0}[/mm]=det[mm]\pmat{X & 1\\ 0 & X}[/mm]
> dann ist das
> charakteristische Polynom [mm]X^2[/mm]
> das Minimalpolynom ist dann X, aber die Gleichung X=0 hat
> die Nullstelle 0.
Also erstmal lautet das Minimalpolynom [mm] $x^2$ [/mm] (da [mm] $\phi^2=0$, [/mm] aber [mm] $\phi\ne0$). [/mm] Jetzt nimsmst du dir einen Teiler davon mit Grad [mm] $\ge1$, [/mm] z.B. $u(x)=x$, dann ist z.B. [mm] $\vektor{1\\0}\in\ker u(\phi)$, [/mm] da [mm] $\phi(\vektor{1\\0})=0$ [/mm] ist, d.h. der Kern von [mm] $u(\phi)$ [/mm] ist nicht trivial, was genau die Behauptung ist.
Zum Beweis musst du zeigen, dass wenn es einen Teiler $u$ des Minimalpolynoms $m$ gäbe mit [mm] $\ker u(\phi)=\{0\}$, [/mm] dann ist auch $m/u$ Minimalpolynom, was ein Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynoms wäre.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 31.05.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
erstmal danke und dann auch schon eine Frage warum ist es ein Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynom wenn auch m/u Minimalpolynom ist.
Und kann ich bei dem Beweis damit anfangen, die Definition des Kerns anzuwenden:
[mm]ker u(\phi)=\{P(phi)\in V| u(\phi)\circ P(\phi)=E_n \in K \}[/mm]
[mm]u(\phi)\circ P(\phi) = E_n[/mm]
Ähm ja ne das geht so ja nicht weiter.
Grüße,
Marie
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>warum ist es
> ein Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynom wenn
> auch m/u Minimalpolynom ist.
Hallo,
wie ist denn das Minimalpolynom definiert?
Es ist eindeutig bestimmt.
>
> Und kann ich bei dem Beweis damit anfangen, die Definition
> des Kerns anzuwenden:
Ja, aber Du mußt es richtig machen.
Wie ist denn der Kern einer Abbildung definiert?
Was ist also Kern(u [mm] (\phi)) [/mm] ?
Dann solltest Du darüber nachdenken, was es bedeutet, wenn der Kern einer Abbildung aus der Null besteht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 01.06.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
also wenn der Kern aus einer Abbildung aus Null besteht ist die Abbildung nicht mehr eindeutig, somit hab ich meinen Wiederspruch zur Behauptung.
Aber wie siehr dieser Kern nun aus?
Ich hab eine Abbildung von [mm]\phi: V->K[/mm].
Ich brauch dann ein Polynom v aus V. Dann hab ich:
[mm]kern = \{v\in V| \phi(v)=E_K \in K\}[/mm]?
Grüße,
Marie
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> also wenn der Kern aus einer Abbildung aus Null besteht
> ist die Abbildung nicht mehr eindeutig, somit hab ich
> meinen Wiederspruch zur Behauptung.
Hallo,
???
Was meinst Du damit?
Ich rate Dir, daß Du Dich informierst darüber, was es mit linearen Abbildungen auf sich hat, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. (Du solltest die entsprechende Aussage auch beweisen können, falls Du irgendwann in LA in eine Klausur oder Prüfung gehst. Das sind Basics.)
> Ich hab eine Abbildung von [mm]\phi: V->K[/mm].
> Ich brauch dann ein Polynom v aus V. Dann hab ich:
> [mm]kern = \{v\in V| \phi(v)=E_K \in K\}[/mm]?
>
Ich verstehe überhaupt nicht, was Du hier tust. Du solltest die zu beweisende Aussage nochmals gründlich studieren.
Gegeben ist ein Endomorphismus [mm] \phi, [/mm] dessen Minimalpolynom sei [mm] \mu_{\phi}.
[/mm]
Weiter wird davon ausgegangen, daß Du einen Teiler u des Minimalpolynoms hast mit grad [mm] u\ge [/mm] 1.
Zeigen sollst Du nun, daß der Kern von [mm] u(\phi) [/mm] nicht nur aus der Null bestehen kann.
Wie Du das machen kannst, hat Dir pelzig ja schon gesagt: nimm an, daß der Kern aus der Null besteht und führe dies zu einem Widerspruch.
Neben der oben erwähnten Aussage ist es dazu unabdingbar, daß Du die Def. des Minimalpolynoms kennst.
Gruß v. Angela
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