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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 So 26.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | | Es sei K ein Körper und $p [mm] \in [/mm] K[T]$ ein Polynom. Zeigen Sie: Gibt es ein Polynom $q [mm] \in [/mm] K[T]$ mit $p [mm] \cdot [/mm] q = 1$, so ist p das konstante Polynom $p(T) = [mm] a_0$ [/mm] für ein Element [mm] $a_0 \in K^{\times}$. [/mm] Folgern Sie: Sind f und g normierte Polynome über K, so dass f ein Teiler von g und g ein Teiler von f ist, so gilt $f = g$. |
Hallo!!
Irgendwie komme ich nicht auf einen Grünen Zweig mit der Aufgabe da oben!
Hier meine bisherigen Überlegungen:
Aus $p(T) = [mm] a_0$ [/mm] mit [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$ und $p [mm] \cdot [/mm] q = 1$ folgt $ q = [mm] \frac{1}{a_0}$ [/mm]
$f | g [mm] \leftrightarrow g = q \cdot f \leftrightarrow q = \frac{g}{f} = \frac{1}{a_0} \Leftrightarrow a_0 = \frac{f}{g}$
$g | f \leftrightarrow f = p \cdot q \quad \leftrightarrow p = \frac{f}{g} = a_0 $
Wenn ich jetzt $a_0 = a_0$ setzte, dann bekomme ich $\frac{f}{g} = \frac{f}{g}$ und somit 1 = 1, aber nicht $f = g$.
Hab ich irgendwas übersehen??
[/mm]
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> Es sei K ein Körper und [mm]p \in K[T][/mm] ein Polynom. Zeigen Sie:
> Gibt es ein Polynom [mm]q \in K[T][/mm] mit [mm]p \cdot q = 1[/mm], so ist p
> das konstante Polynom [mm]p(T) = a_0[/mm] für ein Element [mm]a_0 \in K^{\times}[/mm].
> Folgern Sie: Sind f und g normierte Polynome über K, so
> dass f ein Teiler von g und g ein Teiler von f ist, so gilt
> [mm]f = g[/mm].
> Hallo!!
>
> Irgendwie komme ich nicht auf einen Grünen Zweig mit der
> Aufgabe da oben!
> Hier meine bisherigen Überlegungen:
>
> Aus [mm]p(T) = a_0[/mm] mit [mm]a_0 \neq 0[/mm] und [mm]p \cdot q = 1[/mm] folgt [mm]q = \frac{1}{a_0}[/mm]
Hallo,
joo, das stimmt zwar, aber es haut einen erstens nicht vom Hocker und ist zweitens nicht das, was Du zeigen sollst.
Es geht darum: Du hast ein Polynom p, über welches Du nichts weiter weißt, als daß es ein passendes Polynom q gibt, so daß die beiden miteinander multipliziert 1 ergeben.
Du sollst nun zeigen, daß es nicht anders sein kann, als daß p ein konstantes Polynom ist.
Nimm dazu an, daß p nicht konstant ist und stell Gradüberlegungen an.
>$ f | g [mm] \leftrightarrow g = q \cdot f \leftrightarrow q = \frac{g}{f} = \frac{1}{a_0} $
Dieser Folgerung kann ich nicht folgen.
Es teilt f:=(x-1) das Polynom g:=(x-1)(x+2), aber deshalb ist doch \bruch{g}{f}=x+2 nicht konstant.
Gruß v. Angela
> $ \Leftrightarrow a_0 = \frac{f}{g}$
> [/mm] [mm]g | f \leftrightarrow f = p \cdot g \quad \leftrightarrow p = \frac{f}{g} = a_0[/mm]
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> Wenn ich jetzt [mm]a_0 = a_0[/mm] setzte, dann bekomme ich
> [mm]\frac{f}{g} = \frac{f}{g}[/mm] und somit 1 = 1, aber nicht [mm]f = g[/mm].
>
> Hab ich irgendwas übersehen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 28.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort... So wirklich weiter hat sie mich zwar nicht wirklich gebracht... Hab aber irgendwie doch noch die Antwort gefunden...
Gruß, Julia
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