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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mo 21.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Let n be a natural number.
Prove: if d|n with $\ d [mm] \ge \wurzel{n} [/mm] $, then there is a divisor $\ e $ of $\ n $ with $\ e [mm] \le \wurzel{n} [/mm] $ |
Hallo,
zusammen mit den anderen Gruppenmitgliedern haben wir folgende Lösung notiert:
$\ n = d*e $
$\ d*e [mm] \ge \wurzel{n} [/mm] *e $
$\ n [mm] \ge \wurzel{n} [/mm] *e $
$\ \ [mm] \wurzel{n}\wurzel{n} \ge \wurzel{n} [/mm] *e $
$\ \ [mm] \wurzel{n} \ge [/mm] e $
Das sieht eigtl alles ganz gut aus, doch gilt wirklich immer die Gleichung $\ n = d*e $ falls $\ d, e $ mit $\ d [mm] \ge \wurzel{n} [/mm] $ und $\ e [mm] \le \wurzel{n} [/mm] $ definiert sind?
Wenn dies zutrifft, würde ich das auf die Primfaktorzerlegung einer nat. Zahl $\ n $ zurueckführen, doch ganz sicher bin ich mir leider nicht.
Würde mich über eine Antwort freuen.
schönen Abend noch.
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Let n be a natural number.
> Prove: if d|n with [mm]\ d \ge \wurzel{n} [/mm], then there is a
> divisor [mm]\ e[/mm] of [mm]\ n[/mm] with [mm]\ e \le \wurzel{n}[/mm]
> Hallo,
>
> zusammen mit den anderen Gruppenmitgliedern haben wir
> folgende Lösung notiert:
Achtet auf die Formalismen:
"Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte für ein [mm] $d\in\IN$ [/mm] mit [mm] $d\ge\sqrt{n}$: $d\mid [/mm] n$
Dann existiert ein [mm] $e\in\IN$ [/mm] mit
> [mm]\ n = d*e[/mm]
zu zeigen: [mm] $e\le\sqrt{n}$;
[/mm]
dazu:"
>
> [mm]\ d*e \ge \wurzel{n} *e[/mm]
wegen ...
>
> [mm] \red{\Rightarrow}[/mm] [mm]\ n \ge \wurzel{n} *e[/mm]
>
> [mm] \red{\Rightarrow}[/mm] [mm]\ \ \wurzel{n}\wurzel{n} \ge \wurzel{n} *e[/mm]
>
> [mm] \red{\Rightarrow}[/mm] [mm]\ \ \wurzel{n} \ge e[/mm]
>
> Das sieht eigtl alles ganz gut aus, doch gilt wirklich
> immer die Gleichung [mm]\ n = d*e[/mm] falls [mm]\ d, e[/mm] mit [mm]\ d \ge \wurzel{n}[/mm]
> und [mm]\ e \le \wurzel{n}[/mm] definiert sind?
Diese Frage verstehe ich nicht so ganz.
Wenn [mm] $d\mid [/mm] n$ gilt, so heißt das per Definition, dass eine natürliche Zahl $e$ existiert mit [mm] $d\cdot{}e=n$
[/mm]
Das ist der sog. Komplementärteiler
Dann ist im weiteren halt zu zeigen, dass [mm] $e\le\sqrt{n}$ [/mm] ist ...
Lest nochmal genau die Aufgabe durch ...
Der Beweis ist m.E. in Ordung, ihr müsst nur besser verpacken.
Mir ist übrigens als erstes ein indirekter Beweis in den Sinn gekommen.
Gleiche Vor. wie oben, also Existenz eines [mm] $e\in\IN$ [/mm] mit $de=n$
Dann: Annahme: [mm] $e>\sqrt{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n=d\cdot{}e>\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{n}=n$ [/mm] Widerspruch
Also [mm] $e\le\sqrt{n}$
[/mm]
>
> Wenn dies zutrifft, würde ich das auf die
> Primfaktorzerlegung einer nat. Zahl [mm]\ n[/mm] zurueckführen,
> doch ganz sicher bin ich mir leider nicht.
Das ist nicht nötig, die Definition der Teilbarkeit innerhalb der natürlichen Zahlen reicht hier m.E. aus.
>
> Würde mich über eine Antwort freuen.
>
> schönen Abend noch.
> ChopSuey
>
>
Ja, dir/euch auch ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Di 22.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
vielen Dank für Deine Zeit & die sehr ausführliche Antwort.
Die verschiedenen Teilaufgaben wurden relativ schnell durchgearbeitet, wobei der Dialog deshalb teilweise verloren ging. Deswegen ist es auch sehr wahrscheinlich, dass der eine oder andere es schöner oder ausführlicher aufgeschrieben hat. Hab das ein wenig chaotisch auf dem Papier zusammengetragen.
Ich muss gestehen, dass ich etwas ganz anderes aus der Aufgabenstellung entnehme, als Du.
Wobei ich die ganze Zeit eben genau nach den Informationen, die Du rausgelesen hast, auf der Suche war.
Die Aufgabenstellung habe ich 1 zu 1 vom Übungsblatt entnommen. Mehr stand da leider nicht.
Dass es zu einem $\ d | n $ mit $\ d [mm] \ge \wurzel{n} [/mm] $ ein $ e $ mit $ e|n$ und $\ e [mm] \le \wurzel{n} [/mm] $ so gibt, dass $\ n = d*e $ ist, habe ich nirgend's rauslesen können. Wie kann das sein? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Auch wenn ich jetzt noch einen Blick auf die Aufgabe werfe, lese ich viel eher, dass $\ d, e $ zwei beliebige Teiler von $\ n $ sind, die jeweils größer/kleiner gleich $\ [mm] \wurzel{n} [/mm] $ sind.
Deshalb war ich so skeptisch mit $\ n = d*e $.
Vielen Dank für die Hilfe.
schönen Abend!
Grüße
ChopSuey
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
Hmm, habe kein Kölsch mehr im Hause, nur Wasser - pfui 
>
> vielen Dank für Deine Zeit & die sehr ausführliche
> Antwort.
>
> Die verschiedenen Teilaufgaben wurden relativ schnell
> durchgearbeitet, wobei der Dialog deshalb teilweise
> verloren ging. Deswegen ist es auch sehr wahrscheinlich,
> dass der eine oder andere es schöner oder ausführlicher
> aufgeschrieben hat. Hab das ein wenig chaotisch auf dem
> Papier zusammengetragen.
>
> Ich muss gestehen, dass ich etwas ganz anderes aus der
> Aufgabenstellung entnehme, als Du.
> Wobei ich die ganze Zeit eben genau nach den
> Informationen, die Du rausgelesen hast, auf der Suche war.
>
> Die Aufgabenstellung habe ich 1 zu 1 vom Übungsblatt
> entnommen. Mehr stand da leider nicht.
>
> Dass es zu einem [mm]\ d | n[/mm] mit [mm]\ d \ge \wurzel{n}[/mm] ein [mm]e[/mm] mit
> [mm]e|n[/mm] und [mm]\ e \le \wurzel{n}[/mm] so gibt, dass [mm]\ n = d*e [/mm] ist,
> habe ich nirgend's rauslesen können. Wie kann das sein?
>
>
> Auch wenn ich jetzt noch einen Blick auf die Aufgabe werfe,
> lese ich viel eher, dass [mm]\ d, e[/mm] zwei beliebige Teiler von [mm]\ n[/mm]
> sind, die jeweils größer/kleiner gleich [mm]\ \wurzel{n}[/mm]
> sind.
Ja, ok, aber der zweite Teiler e ergibt sich freundlicherweise mit dem Komplementärteiler von d.
Damit ist die Existenz eines weiteren Teilers d gezeigt (möglicherweise gibt es noch weitere und auch weitere Teiler, die wie d auch [mm] \ge \sqrt{n} [/mm] sind)
Aber zumindest ist mit [mm] $d\mid [/mm] n$ die Existenz dieses Komplementärteilers garantiert.
Und dieser tut es auch schon (im Sinne von: ist [mm] \le\sqrt{n}) [/mm] wie euer Beweis ja zeigt
Nehmen wir mal ein Zahlenbsp.
$n=24$
Dann sei mal [mm] $d=12\ge\sqrt{24}$
[/mm]
Der Komplementärteiler zu $d$ ist [mm] $e=2\le\sqrt{24}$
[/mm]
Es gibt aber neben d und e noch weitere Teiler, etwa $t=8$, das ist [mm] $>\sqrt{24}$, [/mm] der würde es nicht tun ...
Das habe ich jetzt etwas blöde ausgedrückt, ich hoffe aber, du verstehst, was ich meine
Ich bin ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]") und gehe jetzt in die Heia
![[snoopysleep]](/images/smileys/snoopysleep.gif "[snoopysleep]")
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") und bis die Tage
schachuzipus
>
> Deshalb war ich so skeptisch mit [mm]\ n = d*e [/mm].
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
> schönen Abend!
>
> Grüße
> ChopSuey
>
>
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
