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Also ich denke das diese Aufgaben nicht all zu schwer sind (natürlich wird es auch schwierige geben) aber ich steh momentan voll auf dem schlauch und komm einfach nicht drauf wie ich das nochmal beweisen muss, vielleicht könnt ihr mir helfen.
Also eine Aufgabe könnte zum Beispiel lauten:
5 ist Teiler von [mm] 7^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] ^n = hoch "n"
Das ist bestimmt einfach zu lösen und ich habe das auch irgendwann schonmal gemacht, aber momentan komm ich einfach nicht drauf. Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Di 19.04.2005 | | Autor: | choosy |
moin moin, also eigentlich sind solche aufgaben recht leicht, wenn man vollständige induktion beherrscht:
anfang: n=1: klar
schritt:
$ [mm] 7^{n+1}-2^{n+1} [/mm] = [mm] 7\cdot 7^n [/mm] - 2 [mm] \cdot 2^n [/mm] = [mm] 5\cdot 7^n [/mm] + 2 [mm] \cdot 7^n [/mm] - [mm] 2\cdot 2^n [/mm] = [mm] \underbrace{5\cdot 7^n}_{\text{klar durch 5 teilbar}} [/mm] + [mm] \underbrace{2 (7^n-2^n)}_{\text{nach ind. vor. durch 5 teilbar}}$
[/mm]
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Hallo, Deep-blue-see
sagt Dir $7 [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 5$ genug?
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das diese aufgabe eigentlich einfach ist hab ich mir gedacht, aber ich stand irgendwie auf dem schlauch. Jetzt denke ich aber berherrsche ich es wieder. Also danke an euch, habt mir echt geholfen.
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Also ich dachte das:
4 ist Teiler von [mm] 5^n [/mm] + 7.
n=1 ist ja klar: 5+7= 12
und dann:
4 ist Teiler von 5^(n+1) + 7 = 5 x [mm] 5^n [/mm] + 7 = 4 x [mm] 5^n [/mm] +7 = 4 x [mm] 5^n [/mm] + [mm] 5^n [/mm] + 7
-> 4 ist Teiler von [mm] 5^n [/mm] + 7
-> 4 ist Teiler von 4 x [mm] 5^n
[/mm]
Was ist daran falsch? In meinem Buch ist das nicht weiter erklärt. Deshalb habe ich aus der einen Beispielaufgabe diese Rechnung gefolgert, die scheinbar aber falsch ist, aber wo? :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> Also ich dachte das:
> 4 ist Teiler von [mm]5^n[/mm] + 7.
> n=1 ist ja klar: 5+7= 12
>
> und dann:
> 4 ist Teiler von
> [mm]5^{n+1} + 7 \ = \ 5 * 5^n + 7 \ = \ \red{(}4\red{+1)} *5^n +7 \ = \ 4 *5^n + 5^n + 7[/mm]
>
> -> 4 ist Teiler von [mm]5^n[/mm] + 7
> -> 4 ist Teiler von 4 x [mm]5^n[/mm]
>
> Was ist daran falsch?
Ich wüßte jetzt nicht, wo hier ein Fehler liegen sollte (von dem Tippfehler oben mal abgesehen) ...
Warum bist Du der Meinung, daß es falsch ist?
Gruß
Loddar
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Ich habe meinen Bruder gefragt, ob diese Aufgabe richtig ist und er meinte es wäre falsch. Wo genau der Fehler sein sollte weiß ich nicht. Ich habe ja auch eigentlich keinen gesehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Tja, dann solltest Du mal Deinen Bruder fragen, wo seiner Meinung nach der Fehler liegt.
Laß mich doch dann auch daran teilhaben  ...
Gruß
Loddar
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also ich habe meinen bruder gefragt und seine antwort war nur :" ich bin ein depp.vergiss was ich gesagt hab". <- für loddar
also war da wohl doch kein fehler, wie ihr gesagt habt und er wollte wohl nur das ich stunden davor sitz und das neu rechne :-/ große brüder ;)
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Hallo, Deep-blue-sea
eine Zahl z = q*m + r ( [mm] $\{q,m,r\} \subset \IZ [/mm] $ )
ergibt
bei der Division durch m immer den Rest r,
man
"sagt" dann z kongruent r modulo m, geschrieben $z [mm] \equiv [/mm] r [mm] \mod [/mm] m$
und
alle Terme der Entwicklung von [mm] $z^n$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$, [/mm] außer [mm] $r^n$
[/mm]
sind sicher durch m Teilbar,
die
Division von [mm] $z^n$ [/mm] durch m ergibt also denselben Rest wie die
von
[mm] $r^n$ [/mm] durch m .
Weiters ergibt [mm] $(q_1*m [/mm] + [mm] r_1) [/mm] + [mm] (q_2*m [/mm] + [mm] r_2)$ [/mm] beid div. durch m
denselben Rest wie [mm] $r_1 [/mm] + [mm] r_2$ [/mm] durch m .
Mit
obigem werden beide Aufgabe zu "10 Sekunden Kopfrechungen":
7 : 5 ... Rest 2, [mm] 2^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] = 0 ... teilbar
5 : 4 ... Rest 1, 1+7 = 8 ... teilbar ( weil 8 : 4 ... Rest 0).
Gruß F.
Ist das denn wirklich "Uni-Level" ?
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
, also grolle ihm nicht allzulang.
