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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Für jede ungerade natürliche Zahl a ist [mm] a^{2} [/mm] - 1 durch 8 teilbar. |
Hallo,
zu der obigen Aufgabe ist mir der Lösungsweg zwar bekannt, allerdings verstehe ich ihn nicht so ganz...
Bei der Aufgabe verhält es sich ja wie folgt, der obige Term entspricht ja der 3. bin. Formel und lautet also (a-1) (a+1).
Dann ist es ja so, dass (a-1) durch 2 teilbar sein muss und (a+1) muss auch durch 2 teilbar sein.
Bis hierhin ist mir alles verständlich.
Aber:
Warum kann man aus diesen Erkenntnissen nun folgern, dass daher auch entweder (a-1) oder (a+1) durch 4 teilbar ist und warum kann ich daraus auch folgern, dass daher [mm] a^{2} [/mm] - 1 durch 8 teilbar ist?
Kann mir das jemand näher bringen?
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> Zeigen Sie: Für jede ungerade natürliche Zahl a ist [mm]a^{2}[/mm] -
> 1 durch 8 teilbar.
> Hallo,
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> zu der obigen Aufgabe ist mir der Lösungsweg zwar bekannt,
> allerdings verstehe ich ihn nicht so ganz...
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> Bei der Aufgabe verhält es sich ja wie folgt, der obige
> Term entspricht ja der 3. bin. Formel und lautet also (a-1)
> (a+1).
> Dann ist es ja so, dass (a-1) durch 2 teilbar sein muss
> und (a+1) muss auch durch 2 teilbar sein.
> Bis hierhin ist mir alles verständlich.
>
> Aber:
> Warum kann man aus diesen Erkenntnissen nun folgern, dass
> daher auch entweder (a-1) oder (a+1) durch 4 teilbar ist
> und warum kann ich daraus auch folgern, dass daher [mm]a^{2}[/mm] -
> 1 durch 8 teilbar ist?
> Kann mir das jemand näher bringen?
Hallo John-Ross,
Unter den geraden Zahlen 2,4,6,8,10,12,14,16, ...
wechseln sich diejenigen, die den Faktor 2 nur einmal
enthalten und diejenigen, die sogar durch 4 teilbar
sind, ebenso ab, wie in der Folge der natürlichen
Zahlen die ungeraden und die geraden.
Für einen mehr rechnerischen Nachweis könntest
du die Zahl a modulo 4 betrachten. Weil a ungerade
sein soll, ist ihr Viererrest entweder 1 ober 3. Diese
beiden Fälle kannst du separat untersuchen.
Gruß Al-Chw.
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Hallo John-Ross,
ergänzend zu Al bzw. alternativ war meine erste Idee: Induktion
Das klappt auch wunderbar schnell und einfach.
IA ist klar,
IS: [mm] $a\to [/mm] a+2$
IV: Sei $a$ ungerade, etwa $a=2n+1$ für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte [mm] $8\mid (a^2-1)=(2n+1)^2-1=4n^2+4n$
[/mm]
Dann ist $a+2=2n+3$ und [mm] $(a+2)^2-1=(2n+3)^2-1=4n^2+12n+8=(4n^2+4n)+(8n+8)=(4n^2+4n)+8(n+1)$
[/mm]
Da nach IVgilt [mm] $8\mid (4n^2+4n)$ [/mm] und sicher auch [mm] $8\mid [/mm] 8(n+1)$, teilt 8 auch die Summe [mm] $(4n^2+4n)+8(n+1)$, [/mm] also genau [mm] $(a+2)^2-1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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