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| Aufgabe | | Seien [math]a,b\in \mathbb{N}[/math]. Es gilt [math]4ab-1\mid(4a^2-1)^2[/math] nur dann, wenn [math]a=b[/math]. Hinweis: Benutze [math]4ab-1\mid 4a^2-1[/math] gilt nur dann, wenn [math]a=b[/math]. |
Hallo Leute, ist meine Lösung so korrekt ?
Also zuerst setze [math]\frac {(4a^2-1)\cdot j} {4ab-1}[/math]. Ich definiere noch zusätzlich die Mengen [math]\{(4ab-1)k\mid k\in \mathbb{N}\}=I_{1}'[/math], mit [math]I_{1}=I_{1}'\cup\{0\}[/math] und [math]\{(4a^2-1)q\mid q\in \mathbb{N}\}=I_{2}'[/math], mit [math]I_{2}=I_{2}'\cup\{0\}[/math] als Ideal. Nun muss [math]\frac {(4a^2-1)\cdot j} {4ab-1}[/math][mm] \in \mathbb{N}[/math] [/mm] gelten, also muss [math](4a^2-1)\cdot j\in I_{1}[/math] gelten. Andererseits ist [math](4a^2-1)\cdot j\in I_{2}[/math]. Deshalb bilde [math]I_{1}\cap I_{2}=\{(4ab-1)\cdot g\mid g\in I_{2}\}=\{(4a^2-1)\cdot f\mid f\in I_{1}\}[/math]. Nehme jetzt [math]a\neq b[/math] an und damit folgt automatisch [math](4a^2-1)^2\notin I_{1}\cap I_{2}[/math] (weil [math]f\notin I_{2}[/math]), also auch [math](4a^2-1)^2\notin I_{1}'\cap I_{2}'[/math]. Damit ist [math](4a^2-1)^2[/math] kein ganzes vielfaches von [math]4ab-1[/math] und somit [math] \frac {(4a^2-1)^2} {4ab-1}\notin \mathbb{N}[/math] für [math]a\neq b[/math].
Ich danke für die Antworten schon mal im vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 19.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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