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Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeit n^2
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Teilbarkeit n^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Do 15.03.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Zeige [mm] n^2 [/mm] / (( [mm] n+1)^n [/mm] -1) für alle n [mm] \in \IN [/mm]

Induktion

I.Anfang n=1
1/1

I.Vorraussetzung [mm] (n-1)^2/(( (n-1)+1)^{n-1} [/mm] -1)
also
[mm] (n-1)^2 /(n)^{n-1} [/mm] -1
I.Schritt n-1 -> n ZuZeigen: [mm] n^2 [/mm] / [mm] ((n+1)^n [/mm] -1)
[mm] (n+1)^n [/mm] -1 = [mm] \sum_{k=0}^n (\vektor{n \\ k}*n^n [/mm] * [mm] 1^{n-k}) [/mm] -1

Habt ihr einen Tipp für mich, wie ich weitermachen kann?

        
Bezug
Teilbarkeit n^2: ausschreiben & zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Do 15.03.2012
Autor: Loddar

Hallo quasimo!


Warum Induktion? Wende auf [mm] $(n+1)^n-1$ [/mm] direkt den binomischen Lehrsatz an und Du siehst direkt, dass man [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern kann.


Zu Deiner Induktion: warum machst Du hier die Ind.-Vorsaussetzung mit $n-1_$ ?
Aber auch bei Deinem Weg musst Du nun den Summenterm [mm] $\left(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*n^k\right)-1$ [/mm] erst etwas ausschreiben und dann zusammenfassen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit n^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Do 15.03.2012
Autor: quasimo


> Hallo quasimo!
>  
>
> Warum Induktion? Wende auf [mm](n+1)^n-1[/mm] direkt den binomischen
> Lehrsatz an

[mm] (n+1)^n-1 [/mm] =( [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} n^k) [/mm] -1

> Du siehst direkt, dass man [mm]n^2[/mm] ausklammern
> kann.

Ich weiß nicht ob ich da zu dumm bin, aber ich komme nicht drauf wie ich das mache. Schande über mich..

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit n^2: ausschreiben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Do 15.03.2012
Autor: Loddar

Hallo quasimo!


Schreibe die Summe mal mit den ersten Summanden aus. Dann erst "sieht" man das weitere.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit n^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Do 15.03.2012
Autor: quasimo

ach, manchmal ist man einfach zu doof zum denken
( $ [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} n^k) [/mm] $ -1  = [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} n^k [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}*n^2 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3}* n^3 [/mm] + .. + [mm] n^n [/mm] = [mm] n^2 [/mm] * ( 1 + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] * n + ... + 1* [mm] n^{n-2}) [/mm]
Kann ich den hinteren teil noch gescheid auf ein Summenzeichen bringen?
[mm] n^2 [/mm] * ( [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n\\k} n^{???} [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Teilbarkeit n^2: jetzt okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Do 15.03.2012
Autor: Loddar

Hallo!


>  ( [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} n^k)[/mm] -1  = [mm]\sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} n^k[/mm]
> = [mm]n^2[/mm] + [mm]\vektor{n \\ 2}*n^2[/mm] + [mm]\vektor{n \\ 3}* n^3[/mm] + .. + [mm]n^n[/mm] = [mm]n^2[/mm] * ( 1 + [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ 3}[/mm] * n + ... + 1* [mm]n^{n-2})[/mm]

[ok]


>  Kann ich den hinteren teil noch gescheid auf ein
> Summenzeichen bringen?
>  [mm]n^2[/mm] * ( [mm]\sum_{k=1}^n \vektor{n\\ k} n^{???}[/mm]

Ist das notwendig?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Teilbarkeit n^2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 Do 15.03.2012
Autor: quasimo

merci ;)

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