Teilbarkeit eines Polynoms < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass 24 für alle natürlichen Zahlen [mm] $n\ge [/mm] 2$ ein Teiler von [mm] $n^4-6n³+23n²-18n$ [/mm] ist. |
Hallo Leute,
ich wollte gerne wissen, ob man hier mit einer Induktion weiterkommt oder einen anderen Weg wählen muss.
Vielen Dank schon mal für eue Engagement.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> Beweisen Sie, dass 24 für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge 2[/mm]
> ein Teiler von [mm]n^4-6n³+23n²-18n[/mm] ist.
> Hallo Leute,
>
> ich wollte gerne wissen, ob man hier mit einer Induktion
> weiterkommt oder einen anderen Weg wählen muss.
Noch besser ist, du überprüfst erstmal die Aufgabe...
Ich nehme ja an, dass Dir da Exponenten abhanden gekommen sind. Nach all der Zeit hier im Forum solltest Du wissen, dass die ASCII-"Hochzahlen" ² und ³ im Formeleditor nicht funktionieren, sondern dass Exponenten ^{Exponent} geschrieben werden.
Gefragt ist also, ob [mm] n^4-6n^3+23n^2-18n [/mm] immer durch 24 teilbar ist.
Ich würde diese Frage einmal [mm] \mod{3} [/mm] und einmal [mm] \mod{8} [/mm] untersuchen. Das geht per Induktion, ist aber irgendwie mühsam, soweit ich sehe.
[mm] \mod{3} [/mm] ist man ja auch so schnell fertig.
[mm] \mod{8} [/mm] hilft es, wenn man [mm] n^4-6n^3+23n-18=n(n-1)(n^2-5n+18) [/mm] zerlegt. Außerdem gilt ja
[mm] n^2-5n+18\equiv n^2+3n+2\equiv(n+1)(n+2)\mod{8}
[/mm]
Also ist [mm] n^4-6n^3+23n-18\equiv (n-1)n(n+1)(n+2)\mod{8}.
[/mm]
Damit müsstest Du doch schnell zum Ziel kommen. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
muss ich mit deinem Ansatz jetzt eine Induktion machen oder wie rechne ich jetzt weiter? Wie wende ich Modulo bei Polynomen an?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> muss ich mit deinem Ansatz jetzt eine Induktion machen oder
> wie rechne ich jetzt weiter? Wie wende ich Modulo bei
> Polynomen an?
Nein, Induktion ist und bleibt aufwändig. Das würde ich lassen.
Nehmen wir mal nur so etwas wie [mm] n^2+3n+2=(n+1)(n+2). [/mm] Ist das für alle n durch 2 teilbar?
Antwort: ja, weil entweder (n+1) oder (n+2) gerade ist.
So ähnlich geht das hier dann auch [mm] \mod{8}.
[/mm]
Überleg Dir mal ein Argument, warum $(n-1)n(n+1)(n+2)$ immer durch 8 teilbar ist.
[mm] \mod{3} [/mm] kannst Du ähnlich vorgehen oder die Behauptung einfach für alle drei Restklassen einzeln zeigen, das dauert ja zusammen nicht mal eine Minute. (Ernst gemeint!)
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
also ich denke, wenn ich [mm] $n\ge2$ [/mm] in das Polynom einsetze komme ich immer Ergebnisse die durch 8 Teilbar sind. Also das Ergebnis wird um 8 addiert. Ich weiß leider kein besseres Argument.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
man kann mehr sagen.
> also ich denke, wenn ich [mm]n\ge2[/mm] in das Polynom einsetze
> komme ich immer Ergebnisse die durch 8 Teilbar sind. Also
> das Ergebnis wird um 8 addiert. Ich weiß leider kein
> besseres Argument.
Genau zwei der Faktoren n-1, n, n+1, n+2 sind gerade.
Genau einer dieser Faktoren ist durch 4 teilbar.
Also gibt es einen durch 4 teilbaren Faktor und einen weiteren geraden Faktor. Daher muss das Produkt $(n-1)*n*(n+1)*(n+2)$ durch 8 teilbar sein.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
kann man dann auch sagen, weil 8|24 gilt die Behauptung?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
> kann man dann auch sagen, weil 8|24 gilt die Behauptung?
Ja, aber das ist ja noch nicht alles. Die Behauptung muss auch [mm] \mod{3} [/mm] gelten, also muss 3 für jedes [mm] n\ge2 [/mm] den Funktionswert des Polynoms teilen.
Hast Du übrigens mal n=1 untersucht, auch wenn das gar nicht gefordert war?
lg
rev
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Hallo reverend,
ich hab's. weil 2 ungerade Faktoren vorhanden sind muss es $1*3=3$ sein. Wäre das dann alles?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> ich hab's. weil 2 ungerade Faktoren vorhanden sind muss es
> [mm]1*3=3[/mm] sein. Wäre das dann alles?
Nein, die Faktorisierung $(n-1)n(n+1)(n+2)$ gilt nur [mm] \mod{8}, [/mm] nicht aber [mm] \mod{3}.
[/mm]
Wenn man sich das Polynom aber [mm] \mod{3} [/mm] ansieht, so fallen ja zwei Summanden weg, und man hat nur noch [mm] n^4+23n^2\equiv n^2(n^2+23)\equiv n^2(n^2-1)\equiv n*(n-1)n(n+1)\mod{3}.
[/mm]
Ab da: gleiche Betrachtung, gleiches Argument. Es ist immer einer der Faktoren durch 3 teilbar.
Das sieht jetzt übrigens wahrscheinlich nach einer Riesen-Trickkiste aus. Glaub mir, man gewöhnt sich schnell daran, so zu denken.
Grüße
rev
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Hallo reverend,
für mich ist das nicht sehr leicht. Muss man jetzt noch weiterrechnen oder genügt das?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> für mich ist das nicht sehr leicht.
Klar. Aber wie gesagt, reine Übungssache.
> Muss man jetzt noch
> weiterrechnen oder genügt das?
Das genügt so, weil
1) 24=3*8 und
2) ggT(3,8)=1
ist.
Damit ist nach dem chin. Restsatz die Lösung so eindeutig. Und eigentlich braucht man noch nicht einmal den. Du hast da ja noch eine andere Frage zu Teilbarkeit hier laufen - das dort verwendete Wissen genügt, um bei dieser Aufgabe hier sicher sagen zu können, dass eine Betrachtung [mm] \mod{3} [/mm] und [mm] \mod{8} [/mm] genügt.
Übrigens gilt die Aussage auch für n=1, insofern ist die Aufgabe unnötig verkompliziert...
Grüße
reverend
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Danke reverend du hast mir mal wieder den Hintern gerettet.
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