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Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeit durch 7
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Teilbarkeit durch 7: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 07.08.2013
Autor: Minchen77

Aufgabe
Zeigen Sie: [mm]3117^{92}-88^{31}[/mm]  ist durch 7 teilbar.

Hallo Zusammen,

ich komm mit der Aufgabe leider nicht ganz zurecht. Man kommt mit dem kleinen Fermat drauf:

Ich hab mir die beiden Zahlen erstmal gesondert angeguckt, es gilt

[mm] 3117^{7-1} \equiv 1 (mod 7) [/mm]   und    [mm] 3117 \equiv 2 (mod 7) [/mm]

weiter gilt [mm] 3117^{92} = 3117^{6^{15}} * 3117^2 [/mm]
dann müsste doch gelten
[mm] 3117^{92} \equiv 1^{90} * 2^2 (mod 7) [/mm]
also [mm] 3117^{92} \equiv 4 (mod 7) [/mm]


das selbe mache ich mit [mm]88^{31}[/mm] und komme dann letztendlich auf [mm] 88^{31} \equiv 4 (mod 7) [/mm]
  

und dann sieht man die Lösung, weil bei der Differenz die 4 als Rest wegfällt.

das Problem ist nur, dass in der zugehörigen Vorlesung der kleine Fermat nicht gemacht wurde. Wie kann man also noch drauf kommen???

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mi 07.08.2013
Autor: felixf

Moin!

> Zeigen Sie: [mm]3117^{92}-88^{31}[/mm]  ist durch 7 teilbar.
>
>  Hallo Zusammen,
>
> ich komm mit der Aufgabe leider nicht ganz zurecht. Man
> kommt mit dem kleinen Fermat drauf:
>  
> Ich hab mir die beiden Zahlen erstmal gesondert angeguckt,
> es gilt
>  
> [mm]3117^{7-1} \equiv 1 (mod 7)[/mm]   und    [mm]3117 \equiv 2 (mod 7)[/mm]
>
> weiter gilt [mm]3117^{92} = 3117^{6^{15}} * 3117^2[/mm]

Du meinst entweder [mm] $(3117^6)^{15}$ [/mm] oder [mm] $3117^{6 \cdot 15}$, [/mm] aber nicht [mm] $3117^{6^{15}} [/mm] = [mm] 3117^{470184984576}$ [/mm] :-)

>  dann
> müsste doch gelten
>  [mm]3117^{92} \equiv 1^{90} * 2^2 (mod 7)[/mm]
>  also [mm]3117^{92} \equiv 4 (mod 7)[/mm]
>  
>
> das selbe mache ich mit [mm]88^{31}[/mm] und komme dann letztendlich
> auf [mm]88^{31} \equiv 4 (mod 7)[/mm]
>    
>
> und dann sieht man die Lösung, weil bei der Differenz die
> 4 als Rest wegfällt.

[ok]

> das Problem ist nur, dass in der zugehörigen Vorlesung der
> kleine Fermat nicht gemacht wurde. Wie kann man also noch
> drauf kommen???

Wenn $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{n}$ [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] $a^c \equiv b^c \pmod{n}$. [/mm] Wegen $3117 [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7}$ [/mm] und $88 [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \pmod{7}$ [/mm] reicht es also aus, [mm] $2^{92}-4^{31} [/mm] = [mm] 2^{92} [/mm] - [mm] 2^{62}$ [/mm] anzuschauen.

Weiterhin gilt [mm] $2^4 [/mm] = 16 [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7}$, [/mm] womit [mm] $2^3 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7}$ [/mm] ist. Somit gilt [mm] $2^{92} [/mm] - [mm] 2^{62} [/mm] = [mm] (2^3)^{30} \cdot 2^2 [/mm] - [mm] (2^3)^{20} \cdot 2^2 \equiv 2^2 [/mm] - [mm] 2^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7}$. [/mm]

Das sind fast alles Rechnungen, die man im einfach Kopf machen kann :)

LG Felix

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