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| Aufgabe | | Sei n eine ganze zahl. beweisen Sie, dass wenn [mm] n^2 [/mm] durch 3 teilbar ist, ist auch n durch 3 teilbar |
Hi,
also ich bin da wie folgt rangegangen: $ [mm] (3n)^2 \Rightarrow [/mm] 3n $ .
Wenn [mm] n^2 [/mm] nicht durch drei teilbar ist, kann ich es schreiben als:
[mm] n^2=(3m+1) [/mm] oder [mm] n^2=(3m+2)^2 [/mm] . Wenn ich jetzt daraus ableiten kann, dass auch n dann nicht durch 3 teilbar ist, hätte ich einen widerspruch und der beweis wäre fertig. Aber wie komme ich zum widerspruch ? Ist die idee überhaupt die richtige ?
Lg,
exeqter
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Hallo exeqter,
> Sei n eine ganze zahl. beweisen Sie, dass wenn [mm]n^2[/mm] durch 3
> teilbar ist, ist auch n durch 3 teilbar
> Hi,
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> also ich bin da wie folgt rangegangen: [mm](3n)^2 \Rightarrow 3n[/mm]
>
> Wenn [mm]n^2[/mm] nicht durch drei teilbar ist, kann ich es
> schreiben als:
>
> [mm]n^2=(3m+1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder [mm]n^2=(3m+2)^2[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Wenn ich jetzt daraus
> ableiten kann, dass auch n dann nicht durch 3 teilbar ist,
> hätte ich einen widerspruch und der beweis wäre fertig.
> Aber wie komme ich zum widerspruch ? Ist die idee
> überhaupt die richtige ?
Ich würde dir einen Beweis durch Kontraposition
vorschlagen.
Anstatt zu zeigen:
[mm] n^2 [/mm] durch 3 teilbar [mm] $\Rightarrow\qquad$ [/mm] n durch 3 teilbar
kannst du zeigen:
n nicht durch 3 teilbar [mm] $\Rightarrow\qquad$ n^2 [/mm] nicht durch 3 teilbar
Dies ist äquivalent.
Nimm also an, dass n nicht durch 3 teilbar sei,
d.h. entweder n=3k+1 oder n=3k+2 (mit [mm] k\in\IZ)
[/mm]
und betrachte die Konsequenzen, die sich für
[mm] n^2 [/mm] ergeben.
LG Al-Chw.
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Hi,
danke schonmal für deine antwort. Das sähe dann bei mir wie folgt aus :
n=(3k+1)
[mm] n^2=9k^2+6k+1
[/mm]
[mm] n^2=3k*(3k+2)+1
[/mm]
Der erste Summand ist zwar durch 3 teilbar, durch addition von 1 ist der gesamte ausdruck jedoch nicht durch 3 teilbar.
sei n=(3k+2)
[mm] n^2=9k^2+6k+4=9k^2+6k+3+1=3*(3k^2+2k+1)+1
[/mm]
der erste Summand wäre wieder durch drei teilbar, durch addition von 1 ist ers aber nicht, daher ist [mm] n^2 [/mm] nicht durch 3 teilbar wenn n nicht durch drei teilbar ist. q.e.d
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... und was war die Frage ?
ob's richtig sei ?
Ja, ist es.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Fr 23.10.2009 | | Autor: | MontBlanc |
Super, vielen Dank für deine Hilfe.
Gute Nacht!!
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