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Forum "Folgen und Reihen" - Taylorsche-Reihe Konvergenz
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Taylorsche-Reihe Konvergenz: Aufgabe Papula D9
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Fr 27.02.2009
Autor: gammla

Aufgabe
Bestimmen Sie die Taylorsche-Reihe von [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] um das Entwicklungszentrum [mm] X_0=1 [/mm] bis zur 4. Potenz (einschließlich).

Hier die Lösung der Taylor-Reihe um das Entwicklungszentrum [mm] X_0=1 [/mm]
[mm] f(x)=1-\bruch{1}{2}(x-1)^1+\bruch{3}{8}(x-1)^2-\bruch{5}{16}(x-1)^3+\bruch{35}{128}(x-1)^4+... [/mm]

In der Lösung ist der Konvergenzbereich 0<x<2 angegeben!

Leider fehlt an dieser Stelle der Lösungsweg!

Den Konvergenzradius würde ich mit folgender Formel bestimmen:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right| [/mm]

Leider schaffe ich es nicht [mm] a_n [/mm] zu bilden!

Oder "übersehe" ich hier etwas und der Konvergenzbereich ist "selbstverständlich" 0<x<2 ?

Helft mir bitte auf die Sprünge!

Gruß,

gammla

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorsche-Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Fr 27.02.2009
Autor: abakus


> Bestimmen Sie die Taylorsche-Reihe von
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] um das Entwicklungszentrum [mm]X_0=1[/mm]
> bis zur 4. Potenz (einschließlich).
>  Hier die Lösung der Taylor-Reihe um das
> Entwicklungszentrum [mm]X_0=1[/mm]
>  
> [mm]f(x)=1-\bruch{1}{2}(x-1)^1+\bruch{3}{8}(x-1)^2-\bruch{5}{16}(x-1)^3+\bruch{35}{128}(x-1)^4+...[/mm]
>  
> In der Lösung ist der Konvergenzbereich 0<x<2 angegeben!
>  
> Leider fehlt an dieser Stelle der Lösungsweg!
>  
> Den Konvergenzradius würde ich mit folgender Formel
> bestimmen:
>  [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>  
> Leider schaffe ich es nicht [mm]a_n[/mm] zu bilden!
>  
> Oder "übersehe" ich hier etwas und der Konvergenzbereich
> ist "selbstverständlich" 0<x<2 ?
>  
> Helft mir bitte auf die Sprünge!
>  
> Gruß,
>  
> gammla
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
Der Betrag des Terms (x-1) ist für 0<x<2 kleiner als 1, deshalb konvergiert die Folge [mm] (x-1)^n [/mm] in diesem Bereich  gegen Null (und nach dem Leibnizkriterium konvergiert dann die Reihe).
Gruß Abakus



Bezug
                
Bezug
Taylorsche-Reihe Konvergenz: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 So 01.03.2009
Autor: gammla

Vielen Dank für die Antwort!
Das hilft mir weiter!

Gruß,

Gammla

Bezug
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